Ui ,Khó thật!

Huy làm có gì sai mọi người góp ý nha :3

a

Ta có 2 đường trung trực của các đoạn thẳng AM,AN cắt nhau tại I nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

b

Hạ đường cao AK. Gọi L đối xứng với A qua K. Suy ra L cố định.Ta sẽ chứng minh tứ giác AMLN nội tiếp. Thật vậy !

Ta dễ có được đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ALN 

Ta có:\(\widehat{AIN}=2\widehat{ALN};\widehat{AIN}=2\widehat{AMN}\Rightarrow\widehat{ALN}=\widehat{AMN}\) nên tứ giác AMLN nội tiếp khi đó đường tròn I luôn đi qua điểm L cố định

Hình tui đã vẽ trong TKHĐ nhé :))

Mình làm ra vở cho bạn rồi nhé. Chữ mình hơi xấu, mong bạn thông cảm.

a: M đối xứng D qua AB

=>AB là đường trung trực của DM

=>AB⊥DM tại trung điểm của DM

=>AM=AD và BM=BD

F nằm trên đường trung trực của DM

=>FD=FM

N đối xứng D qua AC

=>AC là đường trung trực của DN

=>AC⊥DN tại trung điểm của DN

=>AD=AN và CD=CN

E nằm trên đường trung trực của DN

=>ED=EN

Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

BM=BD

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{AMB}=\hat{ADB}=90^0\)

ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{MAB}=\hat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc MAD

=>\(\hat{MAD}=2\cdot\hat{BAD}\)

Xét ΔFMB và ΔFDB có

FM=FD

MB=DB

FB chung

Do đó: ΔFMB=ΔFDB

=>\(\hat{MFB}=\hat{DFB}\)

=>FB là phân giác của góc MFD

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

DC=NC

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{ANC}=\hat{ADC}=90^0\)

ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{DAC}=\hat{NAC}\)

=>AC là phân giác của góc DAN

=>\(\hat{DAN}=2\cdot\hat{DAC}\)

Xét ΔEDC và ΔENC có

ED=EN

DC=NC

EC chung

Do đó: ΔEDC=ΔENC

=>\(\hat{DEC}=\hat{NEC}\)

=>EC là phân giác của góc DEN

\(\hat{MAN}=\hat{MAD}+\hat{NAD}\)

\(=2\left(\hat{BAD}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}\)

AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}=\frac{180^0-\hat{MAN}}{2}=\frac{180^0-2\cdot\hat{BAC}}{2}=90^0-\hat{BAC}\)

Xét ΔAMF có \(\hat{BFM}\) là góc ngoài tại đỉnh F

nên \(\hat{BFM}=\hat{FMA}+\hat{FAM}\)

\(=90^0-\hat{BAC}+\hat{MAB}=90^0-\hat{BAC}+\hat{BAD}=90^0-\hat{BAC}+90^0-\hat{ABC}\)

\(=180^0-\left(\hat{BAC}+\hat{ABC}\right)=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BFD}+\hat{AFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

=>AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

Vì \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=\hat{ANC}=90^0\)

nên A,F,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính AC
b: \(\hat{AFC}=90^0\)

=>CF⊥AB

Xét ΔAEN có \(\hat{NEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\hat{NEC}=\hat{EAN}+\hat{ENA}\)

\(=\hat{DAC}+90^0-\hat{BAC}=90^0-\hat{ACB}+90^0-\hat{BAC}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{CED}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CED}+\hat{AED}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DBA}+\hat{DEA}=180^0\)

=>ABDE nội tiếp

=>\(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)

=>BE⊥AC tại E

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

Do đó: AD,BE,CF đồng quy