Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tam giác ABC có BD và AM là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm tam giác ABC
=> \(\frac{IB}{ID}=\frac{2}{1}\)(1)
Vì AK//BC nên \(\frac{IK}{IB}=\frac{IA}{IM}=\frac{2}{1}\)
=> \(\frac{KB}{IB}=\frac{IB}{IB}+\frac{IK}{IB}=1+\frac{2}{1}=\frac{3}{1}\)
\(\frac{KD}{IB}=\frac{IK}{IB}-\frac{ID}{IB}=\frac{2}{1}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{KB}{KD}=\frac{3}{1}:\frac{3}{2}=\frac{2}{1}\)(2)
Từ (1) , (2) => Đpcm
Câu 3:
Xét ΔMDC có AB//CD
nên MA/MD=MB/MC(1)
Xét ΔMDK có AI//DK
nên AI/DK=MA/MD(2)
Xét ΔMKC có IB//KC
nên IB/KC=MB/MC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK
Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC
Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK
=>AI/KC=IB/DK
mà AI/DK=IB/KC
nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)
=>AI=IB
=>I là trung điểm của AB
AI/DK=BI/KC
mà AI=BI
nên DK=KC
hay K là trung điểm của CD
Bài 2:
a: Xét tứ giác AMCK có
I là trung điểm của AC
I là trug điểm của MK
Do đó: AMCK là hình bình hành
mà \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCK là hình chữ nhật
b: Để AMCK là hình vuông thì AM=CM
=>AM=BC/2
=>ΔABC vuông tại A
1.
Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.
Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.
Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.
Do đó: $AF\parallel NP$.
Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.
Suy ra: $PN=NF$.
Vậy trong tứ giác $AFPN$:
$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.
Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.
Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.
Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.
Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).
Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.
Suy ra: CNFP là hình bình hành.
Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.
Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.
Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.
Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.
Suy ra NIBJ là hình bình hành.
2.
a) Ta có:
$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.
Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.
Suy ra tứ giác $AGBI$ có:
$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.
Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.
Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.
b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.
Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:
$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABC$:
$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),
$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.
Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.
Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.
Mà trong tam giác vuông $ABK$:
$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.
Suy ra: $BG=AC$.
Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.
c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.
Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:
$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.
Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.
Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.
Hay: $AG=BC$.
Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.
P/s hình tự vẽ lấy :)
Ta có: AM cắt CK tại E
Xét tam giác AMB và tam giác EMC có:
\(MB=MC\left(gt\right)\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{ABM}=\widehat{ECM}\)( so le trong và AB // CE )
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta EMC\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow MA=ME\)( hai cạnh tương ứng )
Và BM = MC ( Vì M là trung tuyến AM )
Suy ra ABCE là hình bình hành
\(\Rightarrow BE//AC\Rightarrow\frac{IB}{ID}=\frac{IA}{IE}\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{IB}{IK}=\frac{IA}{IE}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{ID}{IB}=\frac{IB}{IK}\)
\(\Rightarrow IB^2=ID.IK\left(đpcm\right)\)
Vậy \(IB^2=ID.IK\)
Cãm ơn bạn vì bạn đã giúp mình nhiều bài nhé :)