a: Xét ΔDAB có DM là phân giác

nên \(\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}=\frac{12}{8}=\frac32\)

b: Xét ΔDAC có DN là phân giác

nên \(\frac{NA}{NC}=\frac{AD}{DC}\)

=>\(\frac{NA}{NC}=\frac{AD}{DB}\)

=>\(\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}\)

Xét ΔABC có \(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\)

nên MN//BC

a: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DB}\)

mà DB=DC

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DC}\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có DF là phân giác

nên \(\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{DC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\)

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\)

nên EF//BC

b: Xét ΔABD có EI//BD

nên \(\frac{EI}{BD}=\frac{AI}{AD}\left(3\right)\)

Xét ΔACD có IF//DC

nên \(\frac{IF}{DC}=\frac{AI}{AD}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{EI}{BD}=\frac{IF}{DC}\)

mà BD=DC

nên EI=IF

=>I là trung điểm của EF

a: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DB}\)

b: Xét ΔADC có DM là phân giác

nên \(\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{DC}\)

=>\(AM\cdot CD=DA\cdot MC\)

c: Ta có: \(\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DB}\)

\(\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{DC}\)

mà DB=DC

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MC}\)

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MC}\)

nên EM//BC

d: Xét ΔABD có EK//BD

nên \(\frac{EK}{BD}=\frac{AK}{AD}\) (1)

Xét ΔADC có KM//DC
nên \(\frac{KM}{DC}=\frac{AK}{AD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EK}{BD}=\frac{KM}{DC}\)

mà BD=DC

nên EK=KM

=>K là trung điểm của EM

a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ và $AF \cdot AB = AE \cdot AC$

Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.

Ta có $AD \perp BC$, $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.

Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.

Từ đồng dạng suy ra tỉ số cạnh tương ứng:

$AF/AE = AC/AB \implies AF \cdot AB = AE \cdot AC$.

b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $AEF$ với các chân cao $E$ và $F$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.

Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh $KF \cdot KE = KB \cdot KC$ và $KF \cdot KE = KO^2 - \frac{BC^2}{4}$

Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $O$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất tứ giác trực tâm $BCEF$ nội tiếp:

$KF \cdot KE = KB \cdot KC$.

Với $O$ trung điểm $BC$, suy ra $KO^2 - \frac{BC^2}{4} = KB \cdot KC$, nên $KF \cdot KE = KO^2 - \frac{BC^2}{4}$.

d) Chứng minh $MN \perp AB$

Tia phân giác góc $BKF$ cắt $AB$ tại $N$ và tia phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $M$.

Theo tính chất đường phân giác và hình học trực tâm, đường nối $M$ và $N$ vuông góc với $AB$:

$MN \perp AB$.

a: Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(AD^2=BD\cdot CD\)

b: \(CB=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

AD=3*4/5=2,4cm

c: BI là phân giác

=>DI/IA=DB/BA

AK là phân giác

=>DK/KC=DA/AC

mà DB/BA=DA/AC

nên DI/IA=KD/KC

=>KI//AC