Do G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ G:

x G = x A + ​ x B + ​ x C 3 = − 1 + ​ 5 + ​ 0 3 = 4 3 y G = y A + ​ y B + ​ y C 3 = ​ 1 + ​ ( − 3 ) + 2 3 = 0 ⇒ G 4 3 ;    0

Điểm G1 là điểm đối xứng của G qua trục Oy nên  G 1 ​   − 4 3 ;    0

Đáp án D

F là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ; E là trung điểm AC \(\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Ta có EF song song BC (đường trung bình)

Mà D là trung điểm BC \(\Rightarrow\) I là trung điểm EF \(\Rightarrow AI\) là trung tuyến tam giác AEF

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF}\)

Theo tính chất trọng tâm:

 \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AF}\)

DE là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AE}\) hay \(\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AE}+0.\overrightarrow{AF}\)

D là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\)

a: A(1;5); B(3;-1); C(-1;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3-1;-1-5\right)=\left(2;-6\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)\)

Vì \(\frac{2}{-2}<>\frac{-6}{-6}\left(-1<>1\right)\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1+3-1\right)=\frac33=1\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(5-1-1\right)=\frac13\cdot3=1\end{cases}\)

=>G(1;1)

c: Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(3-1\right)=\frac22=1\\ y_{M}=\frac12\cdot\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-1-1\right)=-\frac22=-1\end{cases}\)

=>M(1;-1)

A(1;5); M(1;-1)

=>\(\overrightarrow{AM}=\left(1-1;-1-5\right)=\left(0;-6\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (6;0)

Phương trình AM là:

6(x-1)+0(y-5)=0

=>6(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

a: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{1-2+6}{3}=\frac{7-2}{3}=\frac53\\ y=\frac{8-1+3}{3}=\frac{11-1}{3}=\frac{10}{3}\end{cases}\)

=>G(5/3;10/3)

H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB; BH⊥AC; AH⊥BC

A(1;8); B(-2;-1); C(6;3); H(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;-1-8\right)=\left(-3;-9\right)\) ; \(\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-1;3-8\right)=\left(5;-5\right)\) ; \(\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) (BH⊥AC)

=>5(x+2)+(-5)(y+1)=0

=>x+2-(y+1)=0

=>x+2-y-1=0

=>x-y+1=0

=>x=y-1

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) (CH⊥AB)

=>-3(x-6)+(-9)(y-3)=0

=>(x-6)+3(y-3)=0

=>x-6+3y-9=0

=>x+3y-15=0

=>x=-3y+15

=>-3y+15=y-1

=>-4y=-16

=>y=4

=>x=y-1=4-1=3

=>H(3;4)

I(x;y); A(1;8); B(-2;-1); C(6;3)

\(IA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-8\right)^2\)

\(IB^2=\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

\(IC^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2-16y+64=x_{}^2+4x+4+y^2+2y+1\\ x^2-2x+1+y^2-16y+64=x^2-12x+36+y^2-6y+9\end{cases}\)

=>-2x-16y+65=4x+2y+5 và -2x-16y+65=-12x-6y+45

=>-2x-4x-16y-2y=5-65 và -2x-16y+12x+6y=45-65

=>-6x-18y=-60 và 10x-10y=-20

=>x+3y=10 và x-y=-2

=>x+3y-x+y=10+2

=>4y=12

=>y=3

x-y=-2

=>x=y-2=3-2=1

=>I(1;3)

b: I(1;3); H(3;4); G(5/3;10/3)

\(\overrightarrow{IH}=\left(3-1;4-3\right)=\left(2;1\right);\overrightarrow{IG}=\left(\frac53-1;\frac{10}{3}-3\right)=\left(\frac23;\frac13\right)\)

Vì \(2:\frac23=1:\frac13\)

nên I,H,G thẳng hàng

A B C G I J

a) \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)

\(\overrightarrow{JB}=x\overrightarrow{JC}\Rightarrow\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CJ}=x\overrightarrow{JC}\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(x-1\right)\overrightarrow{JC}\Rightarrow\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{1-x}\overrightarrow{CB}\)

b) \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{CJ}-\overrightarrow{CI}=\frac{1}{1-x}\overrightarrow{CB}-\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\right)=\frac{2x+1}{3\left(1-x\right)}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)

c) Dễ có \(\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\right)\). Để \(\overrightarrow{IJ}\)//\(\overrightarrow{CG}\) thì :

\(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2x+1}{3\left(1-x\right)}}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}}\Leftrightarrow\frac{1-x}{2x+1}=-1\Rightarrow2x+1=x-1\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy \(x=-2\)tức \(\overrightarrow{JB}=-2\overrightarrow{JC}\)thì IJ // CG.

* Nhận xét: Nếu \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b};\overrightarrow{v}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\)thì \(\overrightarrow{u}\)//\(\overrightarrow{v}\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}.\)

Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3

Tọa độ N là:

x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1

Tọa độ P là;

x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm