a: Ta có: \(AM=\frac12AB\)

=>\(S_{AMC}=\frac12\times S_{ABC}\)

Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>\(S_{AMN}=\frac12\times S_{AMC}=\frac12\times\frac12\times S_{ABC}=\frac14\times S_{ABC}\)

b:

ta có: \(AM=\frac12\times AB\)

=>M là trung điểm của AB

=>\(BM=MA=\frac12\times BA\)

=>\(S_{BMC}=\frac12\times S_{ABC}\) (1)

Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>N là trung điểm của AC

=>\(CN=NA=\frac12\times CA\)

=>\(S_{BNC}=S_{BNA}=\frac12\times S_{CAB}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{BMC}=S_{BNC}\)

Vì P nằm giữa B và C

nên \(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}=\frac{BP}{BC}\)

Vì P nằm giữa B và C nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CNB}}=\frac{CP}{CB}\)

mà \(S_{CNB}=S_{CMB}\)

nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CMB}}=\frac{CP}{CB}\)

\(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}+\frac{S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{BMP}+S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{ABC}-S_{AMPN}}{\frac12\times S_{ABC}}=2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\)

=>\(S_{BMP}+S_{CNP}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times S_{BMC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac12\times S_{ABC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac{S_{ABC}}{2}=S_{ABC}-S_{AMPN}\)

=>\(S_{ABC}-S_{AMPN}>0\)

=>\(S_{ABC}>S_{AMPN}\)

=>\(S_{AMPN}

Nối C với M 

Tam giác ACM và tam giác ACB có chung đường cao hạ từ C xuống cạnh AB; đáy AM = 1/2 đáy AB (Vì M là điểm chính giữac cạnh AB)

=> S (ACM) = 1/2 S(ABC) = 1/2 x 160 = 80 cm²

Xét tam giác AMN và tam giác ACM có chung chiều cao hạ từ M xuống cạnh AC; đáy AN = 1/4 đáy AC

=> S (AMN) = 1/4 x S (ACM) = 1/4 x 80 = 20 cm²

A B C M N ?

S_AMC = 1/2 S_ABC vì  AM=MB = 1/2 AB cùng chiều cao hạ từ C xuống AB 

S_AMN = 1/4 S_{AMC vì}  AN = 1/4 AC có cùng chiều cao hạ từ M xuống AC

S_AMC= S_ABC x 1/2 

        = 160 x 1/2 = 80 cm^₂

S_AMN= S_{AMC x 1/4}

         =80 x 1/4 =20 cm2

A B C M N

Nối M với C

^SAMN = 1/3 ^SAMC vì:

- Đáy AN = 1/3 đáy AC

- Chung chiều cao từ đỉnh M xuống đáy AC

^SAMC = 1/3 ^SABC vì:

- Đáy AM = 1/3 đáy AB

- Chung chiều cao từ đỉnh C xuống đáy AB

Ta có: ^SAMN = 1/3 ^SAMC

         ^SAMC = 1/3 ^SABC

        Vậy ^SAMN = 1/3 x 1/3 = 1/9 ^SABC

        Đáp số: 1/9

Ngu như bò

ABCMN

Nối M với C

^SAMN = 1/3 ^SAMC vì:

- Đáy AN = 1/3 đáy AC

- Chung chiều cao từ đỉnh M xuống đáy AC

^SAMC = 1/3 ^SABC vì:

- Đáy AM = 1/3 đáy AB

- Chung chiều cao từ đỉnh C xuống đáy AB

Ta có: ^SAMN = 1/3 ^SAMC

         ^SAMC = 1/3 ^SABC

        Vậy ^SAMN = 1/3 x 1/3 = 1/9 ^SABC

        Đáp số: 1/9