Vì AM=MB

nên \(S_{CMA}=S_{CMB};S_{OMA}=S_{OMB}\)

=>\(S_{CMA}-S_{OMA}=S_{CMB}-S_{OMB}\)

=>\(S_{COA}=S_{COB}\)

Ta có: AN+NC=AC

=>\(NC=AC-AN=AC-\frac34\times AC=\frac14\times AC\)

=>\(AN=3\times NC\)

=>\(S_{BNA}=3\times S_{BNC};S_{ONA}=3\times S_{ONC}\)

=>\(S_{BNA}-S_{ONA}=3\times\left(S_{BNC}-S_{ONC}\right)\)

=>\(S_{BOA}=3\times S_{BOC}\)

=>\(S_{BOA}=3\times S_{COA}\)

=>\(\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}=3\)

Ta có: AM+MB=AB

=>\(MB=AB-AM=AB-\frac35\times AB=\frac25\times AB\)

=>\(AM=\frac32\times MB\)

=>\(S_{CMA}=\frac32\times S_{CMB};S_{OMA}=\frac32\times S_{OMB}\)

=>\(S_{CMA}-S_{OMA}=\frac32\times\left(S_{CMB}-S_{OMB}\right)\)

=>\(S_{COA}=\frac32\times S_{COB}\)

Ta có AN+NC=AC

=>NC=AC-AN=1/5AC

=>AN=4NC

=>\(S_{BNA}=4\times S_{BNC};S_{ONA}=4\times S_{ONC}\)

=>\(S_{BNA}-S_{ONA}=4\times\left(S_{BNC}-S_{ONC}\right)\)

=>\(S_{BOA}=4\times S_{BOC}\)

=>\(\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}=4:\frac32=4\times\frac23=\frac83\)

\(\)Tính tỉ số \(\dfrac{S_{AOB}}{S_{AOC}}\)

\(\dfrac{S_{AOB}}{S_{AOC}}=\dfrac{h\cdot AO\div2}{h\cdot OC\div2}=\dfrac{AC}{OC}\)

a) Xét tam giác APN và NPC có:
+ Đáy AN = 1/4 AC hay AN = 1/3 NC ( giả thiết)
+ Chung chiều cao hạ từ P
* Diện tích tam giác APN= 1/3 diện tích tam giác PNC
* Vậy diện tích PNC = 10 x 3 = 30(cm3)
b) Nối B với N
Xét tam giác PBM và tam giác MPC có:
+ Chung chiều cao hạ từ P xuống đáy BC
+ BM = MC ( theo giả thiết)
* Diện tích tam giác PBM = MPC (1)
Xét tam giác BNM và MNC có:
+ Chung chiều cao hạ từ N
+ BM = MC ( theo giả thiết)
* Diện tích tam giác BNM = MNC (2)
* Từ (1) và (2) ta có diện tích BPN = NPC ( hiệu hai tam giác bằng nhau)
* Diện tích BPN = 30 (cm2)

* Mà diện tích tam giác ANB = diện tích PNB – APN= 30- 10=20(cm²)
Xét tam giác ABN và ABC có:
+ AN = 1/4 AC ( giả thiết)
+ Chung chiều cao hạ từ B
* Diện tích tam giác ABN= 1/4 diện tích tam giác ABC = 20 x 4 = 80 (cm²)