Xét ΔEDB có

M,I lần lượt là trung điểm của EB,ED

=>MI là đường trung bình của ΔEDB

=>MI//BD và \(MI=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,K lần lượt là trung điểm của CD,CB

=>NK là đường trung bình của ΔCBD

=>NK//BD và \(NK=\frac{BD}{2}\)

MI//BD

NK//BD

Do đó: MI//NK

\(MI=\frac{BD}{2}\)

\(NK=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MI=NK

Xét ΔDEC có

I,N lần lượt là trung điểm cua DE,DC

=>IN là đường trung bình của ΔDEC
=>IN//EC và \(IN=\frac{EC}{2}\)

\(IN=\frac{EC}{2}\)

\(IM=\frac{BD}{2}\)

mà BD=EC

nên IM=IN

Xét tứ giác MINK có

MI//NK

MI=NK

Do đó: MINK là hình bình hành

Hình bình hành MINK có IM=IN

nên MINK là hình thoi

Hình thoi MINK trở thành hình vuông khi IM⊥ IN

IM⊥ IN

IN//EC

Do đó: IM⊥ EC

IM⊥EC

IM//BD

Do đó: BD⊥EC

=>AB⊥ AC

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

*Trong  ∆ BCD,ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của  ∆ BCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong  ∆ BED,ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của  ∆ BED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong ∆ BEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).

Áp dụng định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh MI = IN = NK = KM (cùng bằng \(\dfrac{BD}{2}\) và \(\dfrac{CE}{2}\) )

MINK là hình thoi nên \(IK\perp MN\)