a: AN=NM

=>N là trung điểm của AM

=>\(MN=\frac12\times MA\)

=>\(S_{MBN}=\frac12\times S_{ABM}\)

Ta có: BM+MC=BC

=>\(BC=MC+\frac12\times MC=\frac32\times MC\)

=>\(\frac{BM}{BC}=\frac13\)

=>\(S_{ABM}=\frac13\times S_{ABC}\)

=>\(S_{MBN}=\frac16\times S_{ABC}\)

b: Ta có: \(AN=\frac12\times AM\)
=>\(S_{BNA}=\frac12\times S_{BMA}=\frac12\times\frac13\times S_{ABC}=\frac16\times S_{ABC}\)

Ta có: \(MC=\frac23\times BC\)

=>\(S_{CMA}=\frac23\times S_{CAB}\)

Ta có: \(MN=\frac12\times MA\)

=>\(S_{CMN}=\frac12\times S_{CMA}=\frac12\times\frac23\times S_{ABC}=\frac13\times S_{ABC}\)

\(S_{BNC}=S_{BNM}+S_{MNC}\)

\(=\frac16\times S_{ABC}+\frac13\times S_{ABC}=\frac12\times S_{ABC}\)

=>\(\frac{S_{BNC}}{S_{BNA}}=\frac12:\frac16=3\)

Ta có: I nằm giữa A và C

=>\(\frac{S_{BIA}}{S_{BIC}}=\frac{IA}{IC};\frac{S_{NIA}}{S_{NIC}}=\frac{IA}{IC}\)

=>\(\frac{S_{BIA}-S_{NIA}}{S_{BIC}-S_{NIC}}=\frac{IA}{IC}\)

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{S_{BNA}}{S_{BNC}}=\frac13\)

=>\(IC=3\times IA\)

Ta có: BN+NC=BC

=>BN=BC-NC=3NC-NC=2NC

=>\(S_{INB}=2\times S_{INC};S_{ANB}=2\times S_{ANC}\)

=>\(S_{ANB}-S_{INB}=2\times\left(S_{ANC}-S_{INC}\right)\)

=>\(S_{AIB}=2\times S_{AIC}\) (1)

Ta có: AM=2MC

=>\(S_{BMA}=2\times S_{BMC};S_{IMA}=2\times S_{IMC}\)

=>\(S_{BMA}-S_{IMA}=2\times\left(S_{BMC}-S_{IMC}\right)\)

=>\(S_{BAI}=2\times S_{BIC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(2\times S_{AIC}=2\times S_{BIC}\)

=>\(S_{AIC}=S_{BIC}\)

• danghuyendiem
• 
• 27/06/2021

Gọi S là diện tích. 

- Ta có: S.MIC= 1/2 SMCA  (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
          S.MIC= S.MIB         (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
- Cho ta: S.AMC = S.BMC ( S.BMC = S.MIC + S.MIB ).
+ Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B
xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
+ Hai đường cao này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam
giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
Vậy: S.AMN = S.BMN

Gọi S là diện tích. 

- Ta có: S.MIC= 1/2 SMCA  (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
          S.MIC= S.MIB         (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
- Cho ta: S.AMC = S.BMC ( S.BMC = S.MIC + S.MIB ).
+ Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B
xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
+ Hai đường cao này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam
giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
Vậy: S.AMN = S.BMN