Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi độ dài cạnh tam giác đều ABC là \(a\), đặt \(AM=BN=CP=x\).
a) Chứng minh tam giác MNP đềuVì tam giác ABC đều nên:
\(AB=BC=CA=a\).
Suy ra:
\(MB=NC=PA=a-x\).
Xét tam giác MBN và tam giác NCP, ta có:
- \(MB=NC\)
- \(BN=CP\)
- \(\widehat{MBN}=\widehat{NCP}=60^\circ\)
Suy ra \(\triangle MBN=\triangle NCP\) (c.g.c).
Do đó \(MN=NP\).
Tương tự, xét tam giác NCP và tam giác PAM:
- \(NC=PA\)
- \(CP=AM\)
- \(\widehat{NCP}=\widehat{PAM}=60^\circ\)
Suy ra \(\triangle NCP=\triangle PAM\) (c.g.c).
Do đó \(NP=PM\).
Vậy \(MN=NP=PM\), suy ra tam giác MNP đều.
b) Chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNPVì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC nên:
\(OA=OB=OC\).
Mặt khác, tam giác ABC đều nên O cũng là giao điểm ba đường phân giác. Do đó:
\(\widehat{OAM}=\widehat{OBN}=\widehat{OCP}=120^\circ\).
Áp dụng định lý cosin trong các tam giác OAM, OBN, OCP:
\(OM^2=OA^2+AM^2-2OA\cdot AM\cos120^\circ\)
\(ON^2=OB^2+BN^2-2OB\cdot BN\cos120^\circ\)
\(OP^2=OC^2+CP^2-2OC\cdot CP\cos120^\circ\)
Mà \(OA=OB=OC\) và \(AM=BN=CP\), nên:
\(OM^2=ON^2=OP^2\).
Suy ra \(OM=ON=OP\).
Vậy O cách đều ba đỉnh M, N, P nên O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP. (đpcm)
M N P A B C
Nối MC. Chọn BMC là tam giác trung gian.
Ta có : BN = 2NC => BN = 2/3BC
=> \(\frac{S_{BMN}}{S_{BMC}}=\frac{BN}{NC}=\frac{2}{3}\)
Lại có AM = 2BM => BM = 1/3AB
\(\Rightarrow\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{BMC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\) mà \(S_{BMN}=\frac{2}{3}S_{BMC}\Rightarrow S_{BMN}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{2}{9}S_{ABC}\)
Tương tự, ta cũng chứng minh được \(S_{AMP}=\frac{2}{9}S_{ABC};S_{PNC}=\frac{2}{9}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{AMP}+S_{BMN}+S_{PNC}=\frac{2}{9}.3S_{ABC}=\frac{2}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S_{ABC}-\left(S_{AMP}+S_{BMN}+S_{PCN}\right)=S_{ABC}-\frac{2}{3}S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)