a: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DB}\)

mà DB=DC

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DC}\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có DF là phân giác

nên \(\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{DC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\)

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\)

nên EF//BC

b: Xét ΔABD có EI//BD

nên \(\frac{EI}{BD}=\frac{AI}{AD}\left(3\right)\)

Xét ΔACD có IF//DC

nên \(\frac{IF}{DC}=\frac{AI}{AD}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{EI}{BD}=\frac{IF}{DC}\)

mà BD=DC

nên EI=IF

=>I là trung điểm của EF

-Qua E,F kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AM lần lượt tại P,Q.

-Xét △PIF có: PF//EQ (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{IE}{IF}\) (hệ quả định lí Ta-let).

-Xét △ABM có: EQ//BM (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{EQ}{BM}=\dfrac{AE}{AB}\) (hệ quả định lí Ta-let). (1)

-Xét △ACM có: PF//CM (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{PF}{CM}=\dfrac{AF}{AC}\) (hệ quả định lí Ta-let). 

Mà \(BM=CM\) (M là trung điểm BC), \(AE=AF\) (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{PF}{BM}=\dfrac{AE}{AC}\) (2)

-Từ (1), (2) suy ra:

 \(\dfrac{\dfrac{EQ}{BM}}{\dfrac{PF}{BM}}\)=\(\dfrac{\dfrac{AE}{AB}}{\dfrac{AE}{AC}}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{AC}{AB}\) mà \(\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{IE}{IF}\left(cmt\right)\)

Nên \(\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{AC}{AB}\)