Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(M\left(x;x\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(x+2;x-7\right)\) ; \(\overrightarrow{BM}=\left(x-1;x-2\right)\); \(\overrightarrow{CM}=\left(x-7;x-9\right)\)
\(\Rightarrow T=\left(x+2\right)^2+\left(x-7\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(x-7\right)^2+\left(x-9\right)^2\)
\(T=6x^2-48x+188\)
\(T=6\left(x-4\right)^2+92\ge92\)
\(T_{min}=92\) khi \(x=4\Rightarrow M\left(4;4\right)\)
Bài 1:
Do hệ số \(a>0\Rightarrow y_{max}\) tại 1 trong 2 đầu mút của đoạn xét
Mà \(-\frac{b}{2a}=1\); ta có \(1-\left(-1\right)>2-1\) nên \(y\) đạt max tại \(x=-1\)
\(y\left(-1\right)=1+2+m^2+m-5=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
\(P=MA^2+MB^2+MC^2=\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2\)
\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)
Do \(G\) cố định \(\Rightarrow P_{min}\Leftrightarrow MG_{min}\Rightarrow M\) là chân đường cao hạ từ \(G\) xuống BC \(\Rightarrow M\) là trung điểm BC
ta có A+B+C = ∏∏
nên C=∏∏ -(A+B)
nên ta có sin(A+B)=sinC , cos(A+B)=-cosC
ta có sin2A+sin2B+sin2C
=2sin(A+B)cos(A-B) + 2 sinCcosC
=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC
=2sinC ( cos(A-B) + cosC)
=2sinC ( cos(A-B) - cos(A+B))
=2sinC.2sinAsinB
=4sinAsinBsinC
Câu 1: Diện tích tam giác là: \(\frac{h_A.a}{2}=\frac{3.6}{2}=9\)(đvdt)
Câu 2: Diện tích tam giác là: \(\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.4.5.\sin60^o=5\sqrt{3}\)(đvdt)
Câu 2: Ta có: \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\\a^2+b^2>c^2\end{cases}\Rightarrow c^2>c^2-2ab.\cos C\Leftrightarrow2ab.\cos C>0}\)
\(\Rightarrow\cos C>0\Rightarrow C< 90^o\)
Vậy C là góc nhọn
Bài toán này liên qua đến các đường đối trung và điểm Lemoine của tam giác, hy vọng em đã học nó rồi (nếu chứng minh tất cả từ đầu thì sẽ rất tốn thời gian)
Giả sử M, N, P lần lượt thuộc BC, CA, AB, đặt \(BC=a;CA=b;AB=c\)
Gọi G là trọng tâm MNP; H, I, K lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB
Ta có:
\(MN^2+NP^2+MP^2=3\left(GM^2+GN^2+GP^2\right)\ge3\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\)
Lại có:
\(S_{GBC}+S_{GCA}+S_{GAB}=\dfrac{1}{2}\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow4S^2=\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)^2\le\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow GH^2+GI^2+GK^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow MN^2+NP^2+MP^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{GH}{a}=\dfrac{GI}{b}=\dfrac{GK}{c}\) hay G là điểm Lemoine của tam giác ABC
\(\Rightarrow M;N;P\) là hình chiếu vuông góc của điểm Lemoine lên BC, CA, AB.
Con cảm ơn thầy ạ.
Thầy ơi sao mình lại có được cái này vậy ạ?
Một tính chất cơ bản của trọng tâm tam giác đó em, để kí hiệu đỡ rắc rối ta chứng minh tổng quát cho tam giác ABC với trọng tâm G nhé
Ta có: \(GA^2+GB^2+GC^2=\left(\dfrac{2}{3}m_a\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}m_b\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}m_c\right)^2\)
\(=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2}{4}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=3\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\)
Con cảm ơn thầy.