Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)

a: XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

Hình vẽ:

a, \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\), \(HD\perp AB\Rightarrow AD.AB=AH^2\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), \(HE\perp AC\Rightarrow AE.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

b, Ta cần chứng minh \(NE\perp DE;MD\perp DE\)

Ta có \(\Delta AHE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\)

Vì ADHE là hình chữ nhật nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACH}\)

Lại có \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\Rightarrow\widehat{ADE}+\widehat{MDB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}=90^o\Rightarrow MD\perp DE\)

Tương tự \(NE\perp DE\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)

=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

OE=OH

Do đó: ΔOEK=ΔOHK

=>KE=KH

=>ΔKHE cân tại K

Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)

\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)

mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)

=>KE=KC

=>KH=KC

=>K là trung điểm của CH

a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)

=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

OE=OH

Do đó: ΔOEK=ΔOHK

=>KE=KH

=>ΔKHE cân tại K

Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)

\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)

mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)

=>KE=KC

=>KH=KC

=>K là trung điểm của CH

B A C D E H

a)  Áp dụng hệ thức lượng vào 2 tam giác vuông: AHB và AHC ta có:

\(AH^2=AD.AB\)

\(AH^2=AE.AC\)

suy ra:\(AD.AB=AE.AC\)

b)  \(AD.AB=AE.AC\)

=>   \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét tam giác AED và tam giác ABC có:

\(\widehat{A}\)chung

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)(cmt)

suy ra: \(\Delta AED~\Delta ABC\)