a) Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{CD}{6}\)

mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{CD}{6}=\dfrac{AD+CD}{4+6}=\dfrac{AC}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{4}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{6}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=2\left(cm\right)\\CD=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AD=2cm; CD=3cm

Tự vẽ hình.

a) Xét tam giác OAB có AB // CD

⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (1)

=> OC = 4cm, DC = 6cm

Vậy OC = 4cm và DC = 6cm

b) Xét tam giác FAB có DC // AB

⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD ( ĐPCM )

c) Theo (1), ta đã có:

OAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBDOAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBD (2)

Vì MN // AB mà AB // DC => MN // DC

Xét tam giác ADC có MO// DC

⇒MODC=AOAC⇒MODC=AOAC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (3)

CMTT : ONDC=OBDBONDC=OBDB (4)

Từ (2), (3) và (4) => MODC=NODC⇒MO=NOMODC=NODC⇒MO=NO ( ĐPCM )

Kẻ DI // BK (I thuộc AC)

\(BD=\frac{3}{4}BC\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}\)

\(\hept{\begin{cases}AE+ED=AD\\AE=\frac{1}{3}AD\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}AE=\frac{1}{3}AD\\ED=\frac{2}{3}AD\end{cases}\Rightarrow}\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{AK}{CK}=\frac{AK}{KI}.\frac{KI}{KC}=\frac{AE}{ED}.\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\)

Trả lời............

Kẻ đường thẳng DI song song với BK (I thuộc AC)

BD = 3/4 BC suy ra BD/BC=3/4

AE + ED=AD           (1)

AE=1/3 AD 

Suy ra AE=1/3 AD ; ED = 2/3 AD suy ra AE/ED = 1/2        (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được :

AK/CK = AK/KI . KI/KC = AE/ED . BD/BC = 1/2 . 3/4=3/8

..............học tốt............

a: AD+DB=AB

=>AD=AB-DB=8-2=6(cm)

\(\frac{AE}{AD}=\frac96=\frac32;\frac{AD}{AC}=\frac{6}{12}=\frac12\)

b: Xét ΔADE và ΔABC có

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\left(\frac68=\frac{9}{12}=\frac34\right)\)

góc EAD chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

c: Xét ΔABC có AI là phân giác

nên \(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AD}{AE}\)

=>\(IB\cdot AE=IC\cdot AD\)