Ta có: \(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{BAC}+\hat{CAE}=90^0+\hat{BAC}\)

Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

Xét ΔDAC và ΔBAE có

DA=BA

\(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

AC=AE
Do đó: ΔDAC=ΔBAE

=>DC=BE

ΔDAC=ΔBAE

=>\(\hat{ADC}=\hat{ABE}\)

Gọi O là giao điểm của DC và BE

Xét tứ giác ADBO có \(\hat{ADO}=\hat{ABO}\)

nên ADBO là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DOB}=\hat{DAB}=90^0\)

=>DC⊥BE tại O

Xét ΔBDC có

M,K lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>MK là đường trung bình của ΔBDC

=>MK//DC và \(MK=\frac{DC}{2}\)

Xét ΔBCE có

N,K lần lượt là trung điểm của CE,CB

=>NK là đường trung bình của ΔBEC

=>NK//BE và \(NK=\frac{BE}{2}\)

MK//DC

DC⊥BE

Do đó: MK⊥BE

MK⊥BE

NK//BE

Do đó: MK⊥NK

TA có: \(MK=\frac{DC}{2}\)

\(NK=\frac{BE}{2}\)

mà DC=BE

nên MK=KN

Xét ΔKMN có KM=KN và KM⊥KN

nên ΔKMN vuông cân tại K

Cách số 1 

Cách số 2

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

AB=AC

góc BAD chung

=>ΔABD=ΔACE

b: ΔABD=ΔACE

=>góc ABD=góc ACE

=>góc HBC=góc HCB

=>ΔHBC cân tại H

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên ED//BC

Bài 1 :
B A C H K E D M N

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

A B C D E N M P

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.

ta có góc DAC= góc DAB+ góc BAC= 90 độ+ góc BAC

góc BAE= góc BAC+ góc EAC= 90 độ+ góc BAC

=> góc DAC= góc BAE

xét tam giác DAC và tam giác BAE có:

góc DAC= góc BAE

AD=AB

AE=AC

=> △DAC=△BAE(c.g.c)

=> góc ADC= góc ABE và DC=BE

gọi giao của DC với AB là K và giao của DC với BE là I

=> góc ADC+ góc AKD= 90 độ

mà góc AKD= góc IKB và góc ADC= góc ABE

=> góc IKB+ góc ABE= 90 độ hay

góc IKB+ góc KBI= 90 độ

=> △IKB vuông

=> DC⊥BE

xét tam giác EDC có:

M là trung điểm DE

P là trung điểm CE

=> MP là đường trung bình của tam giác EDC

=> MP//DC và MP=\(\frac12DC\)

CMTT: => NM là đường trung bình của tam giác DBE

=> NM//BE và \(NM=\frac12BE\)

mà BE=CD

từ các điều trên => NM=MP

=> tam giác NMP cân tại M

ta NM//BE và MP//DC lại có DC⊥BE

=> NM⊥MP

=> tam giác MNP vuông cân tại M(đpcm)

ta có góc DAC= góc DAB+ góc BAC= 90 độ+ góc BAC

góc BAE= góc BAC+ góc EAC= 90 độ+ góc BAC

=> góc DAC= góc BAE

xét tam giác DAC và tam giác BAE có:

góc DAC= góc BAE

AD=AB

AE=AC

=> △DAC=△BAE(c.g.c)

=> góc ADC= góc ABE và DC=BE

gọi giao của DC với AB là K và giao của DC với BE là I

=> góc ADC+ góc AKD= 90 độ

mà góc AKD= góc IKB và góc ADC= góc ABE

=> góc IKB+ góc ABE= 90 độ hay

góc IKB+ góc KBI= 90 độ

=> △IKB vuông

=> DC⊥BE

xét tam giác EDC có:

M là trung điểm DE

P là trung điểm CE

=> MP là đường trung bình của tam giác EDC

=> MP//DC và MP=\(\frac12DC\)

CMTT: => NM là đường trung bình của tam giác DBE

=> NM//BE và \(NM=\frac12BE\)

mà BE=CD

từ các điều trên => NM=MP

=> tam giác NMP cân tại M

ta NM//BE và MP//DC lại có DC⊥BE

=> NM⊥MP

=> tam giác MNP vuông cân tại M(đpcm)

một bài toán có thể giúp cho một số bài, chúc các câu học tốt còn acc trên lỡ dùng acc phụ:v

Trên tia đối của tia MA, lấy N sao cho MN=MA

Ta có: \(\hat{DAE}+\hat{DAB}+\hat{BAC}+\hat{EAC}=360^0\)

=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\) (1)

Xét tứ giác ADNE có

M là trung điểm chung của AN và DE

=>ADNE là hình bình hành

=>\(\hat{DAE}+\hat{ADN}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ADN}=\hat{BAC}\)

ADNE là hình bình hành

=>DN=AE
mà AE=AC

nên DN=AC

Xét ΔADN và ΔBAC có

AD=BA

\(\hat{ADN}=\hat{BAC}\)

DN=AC

Do đó: ΔADN=ΔBAC

=>\(\hat{DAN}=\hat{ABC}\)

Gọi H là giao điểm của AN và BC

Ta có: \(\hat{DAN}+\hat{DAB}+\hat{BAH}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{BAH}=180^0-90^0=90^0\)

=>ΔAHB vuông tại H

=>AM⊥BC tại H