Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong (O;R) có BD và CE là các đường cao. Cho góc A = 60 độ, tính theo R diện tích tứ giác OEAD

Có thể giải như sau: 
Tam giác vuông ABD có ^BAD = 60o => AD = AB/2 
Dễ thấy tg vuông ABD đồng dạng với tg vuông ACE => AD/AE = AB/AC => AD/AB = AE/AC => tg AED đông dạng tam giác ABC ( vì có chung góc A) => ED/BC = ADAB = 1/2 => ED = BC/2 
Dễ tính được BC = RV3 => ED = RV3/2 
Mặt khác : Vẽ đường kính AF => BF//CE (vì cùng _I_ với AB). Dễ thấy BCDE nội tiếp => ^BDE = ^BCE (cùng chắn cung BE) = ^CBF ( so le trong) = ^CAF (cùng chắn cung CF của (O) ) => AF _I_ DE ( vì đã có AD _I_ BD) 
Vậy S(OEAD) = AO.ED/2 = R^2V3/4 => R = V(4SV3/3)

p/s:tham khảo

B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90^o  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                                             góc AEH = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

                                             Góc CAB = 90^o ( tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)

b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF  = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)

=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

c,gọi M là giao điểm của AI và EF

ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)

do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA

hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)

mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180^o (tổng 3 góc trong  một tam giác)

=>  ACB + góc ABC = 90^o (3)

từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90^o

=> góc AME = 90^o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)

hay AI uông góc với EF (đpcm)

em moi lop 6 huhuhuhuhuhu

a) Xét (O) có :

AB là tiếp tuyến tại B

AC là tiếp tuyến tại C 

AB cắt AC tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)

Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau

\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE

\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)

Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)

\(\widehat{BAD}\)chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)

Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)

Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)

A K I D E H B F C

a ) Ta có : \(BD\perp AC,CE\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0,\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow ADHE,BEDC\) nội tiếp

b . Ta có : \(\widehat{DHC}=\widehat{EHB},\widehat{HDC}=\widehat{HEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta HDC~\Delta HEB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}\Rightarrow HD.HB=HE.HC\)

c . Vì H là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\perp BC=F\)

Lại có : \(\widehat{AHD}=\widehat{CBF}\left(+\widehat{FAC}=90^0\right)\)

\(\widehat{AID}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}\)

\(\Rightarrow\Delta AHI\) cân tại A 

Mà \(AD\perp HI\Rightarrow AD\) là trung trực của HI \(\Rightarrow\)AC là đường trung trực của của HI.

d ) Từ câu c \(\Rightarrow AI=AH\)

Tương tự \(\Rightarrow AK=AH\Rightarrow A\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HIK\)

Câu 6:

\(x^2-10x+26\)

\(=x^2-10x+25+1=\left(x-5\right)^2+1\ge1\forall x\)

=>\(\sqrt{x^2-10x+26}\ge1\forall x\)

=>\(2021+\sqrt{x^2-10x+26}\ge1+2021=2022\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-5=0

=>x=5

Câu 5:

a: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

Tâm M là trung điểm của BC

b: BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BED}+\hat{BCD}=180^0\)

mà \(\hat{BED}+\hat{FEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)

Xét ΔFEB và ΔFCD có

\(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)

góc EFB chung

Do đó: ΔFEB~ΔFCD

=>\(\frac{FE}{FC}=\frac{FB}{FD}\)

=>\(FE\cdot FD=FB\cdot FC\) (1)

AKBC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AKB}+\hat{ACB}=180^0\)

mà \(\hat{AKB}+\hat{FKB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)

Xét ΔFKB và ΔFCA có

\(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)

góc KFB chung

Do đó: ΔFKB~ΔFCA

=>\(\frac{FK}{FC}=\frac{FB}{FA}\)

=>\(FK\cdot FA=FB\cdot FC\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(FK\cdot FA=FE\cdot FD\)

=>\(\frac{FK}{FD}=\frac{FE}{FA}\)

Xét ΔFKE và ΔFDA có

\(\frac{FK}{FD}=\frac{FE}{FA}\)

góc KFE chung

Do đó: ΔFKE~ΔFDA

=>\(\hat{FKE}=\hat{FDA}\)