a) Diện tích \({S_1}\) của tam giác IAB là: \({S_1} = \frac{1}{2}r.AB = \frac{1}{2}r.c\)

Diện tích \({S_2}\) của tam giác IAC là: \({S_2} = \frac{1}{2}r.AC = \frac{1}{2}r.b\)

Diện tích \({S_3}\) của tam giác IBC là: \({S_3} = \frac{1}{2}r.BC = \frac{1}{2}r.a\)

b) Diện tích S của tam giác ABC là:

 \(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.b + \frac{1}{2}r.a = \frac{1}{2}r.(c + b + a)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\end{array}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \).

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)

Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2})(2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)} \end{array}\)

Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)\\a - b + c = 2p - 2b = 2(p - b)\\a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p - a).2p.2(p - b).2(p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p - a).p.(p - b).(p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}\)

b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)

Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\end{array}\)

a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:

TH1: góc A nhọn

\(\sin A = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)

TH2: góc A tù

\(\sin A = \sin ({180^o} - A) = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)

Vậy \(BD = AB.\sin A\)

b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}BD.AC\)

Mà \(BD = AB.\sin A = c.\sin A\); BC = a. Thế vào (*) ta được:

\(S = \frac{1}{2}c.\sin A.b\) hay \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)

Tham khảo:

Đặt \(a = BC,b = AC,c = AB\)

Ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b} \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R.\sin B\)

\( \Rightarrow {h_a} = 2R.\sin B.\sin C\)

Từ giả thiết ta có:

\(AF = FB = ED\); \(AE = EC = FD\); \(BD = DC = EF\)

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \)là \(\overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)

b) Các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \) là \(\overrightarrow {EA} \) và \(\overrightarrow {DF} \)