Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(Bài này có dính líu đến tứ giác nội tiếp một chút, không biết bạn học chưa. Mình sẽ cố né nội dung đó.)
\(A,O,B,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\).
\(B,O,C,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\).
(Bạn có thể chứng minh 2 điều này bằng các góc vuông)
Mà đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BOC\) chỉ có 1 nên \(A,B,O,C,E\) cùng thuộc đường tròn.
\(AECO\) là hình thang nội tiếp nên nó là hình thang cân.
Từ đó CM được \(GA=GO,IA=IO\) và suy ra \(IG\) là đường trung trực của \(OA\).
1: Xét ΔCEO vuông tại C và ΔACB vuông tại A có
\(\hat{CEO}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{COE}\right)\)
Do đó: ΔCEO~ΔACB
=>\(\frac{CO}{AB}=\frac{CE}{AC}\)
=>\(\frac{CO}{CE}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AO}{CE}=\frac{AB}{AC}\)
Ta có: CE⊥CA
AB⊥CA
Do đó: CE//AB
Xét ΔAOB vuông tại A và ΔCEA vuông tại C có
\(\frac{AO}{CE}=\frac{AB}{CA}\)
Do đó: ΔAOB~ΔCEA
=>\(\hat{AOB}=\hat{CEA}\)
mà \(\hat{CEA}=\hat{EAB}\) (hai góc so le trong, CE//AB)
nên \(\hat{AOB}=\hat{IAB}\)
=>\(\hat{BOA}=\hat{BAI}\)
mà \(\hat{BOA}+\hat{OBA}=90^0\) (ΔOAB vuông tại A)
nên \(\hat{BAI}+\hat{OBA}=90^0\)
=>AI⊥BO tại I
=>AE⊥BO tại I
2: Xét ΔODC vuông tại D và ΔOAF vuông tại A có
\(\hat{DOC}=\hat{AOF}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔODC~ΔOAF
=>\(\frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OF}\)
=>\(OD\cdot OF=OA\cdot OC\)
=>\(2\cdot OD\cdot OF=2\cdot OA\cdot OC=AO\cdot AC\) (1)
Xét ΔAIO vuông tại I và ΔACE vuông tại C có
\(\hat{IAO}\) chung
DO đó: ΔAIO~ΔACE
=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AO}{AE}\)
=>\(AI\cdot AE=AO\cdot AC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AI\cdot AE=2\cdot OF\cdot OD\)