Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Sửa đề: ΔAIH~ΔAHB
Xét ΔAIH vuông tại I và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{IAH}\) chung
Do đó: ΔAIH~ΔAHB
=>\(\frac{AI}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
b: Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{KAH}\) chung
Do đó: ΔAKH~ΔAHC
=>\(\frac{AK}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)
=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AK}{AB}\)
Xét ΔAIK và ΔACB có
\(\frac{AI}{AC}=\frac{AK}{AB}\)
góc IAK chung
DO đó: ΔAIK~ΔACB
a) Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ (cm)$.
Diện tích tam giác $ABC$ tính theo hai cách:
$\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12BC\cdot AH$
$\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}\ (cm)$.
Trong tam giác vuông $ABH$ vuông tại $I$, ta có:
$\triangle ABH \sim \triangle HBI$ nên: $AB^2=BH\cdot BC$.
Mà: $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}$.
Lại có: $BI=\dfrac{BH\cdot BA}{AH}=\dfrac{\frac95\cdot3}{\frac{12}{5}}=\dfrac94\ (cm)$.
Vậy: $\boxed{BC=5cm,\ AH=\dfrac{12}{5}cm,\ BI=\dfrac94cm}$.
b) Ta có: $HI\parallel AC$ và $HK\parallel AB$ nên tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật.
Suy ra: $IK=AH$.
Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$, mà trong tam giác vuông $ABC$:
$MA=MB=MC$.
Do đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Đường thẳng $IK$ đi qua trung điểm các hình chiếu của $H$ trên $AB,AC$, suy ra:
$IK\parallel BC$.
Mà $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác vuông nên: $AM\perp IK$.
Vậy: $\boxed{IK=AH}$ và $\boxed{AM\perp IK}$.
c) Vì $AIHK$ là hình chữ nhật nên: $AI=HK,\ AK=HI$.
Lại có trong tam giác vuông $ABC$:
$HI=\dfrac{AH\cdot AB}{AC},\qquad HK=\dfrac{AH\cdot AC}{AB}$.
Suy ra: $AB\cdot AI=AB\cdot HK=AH\cdot AC=AC\cdot HI=AC\cdot AK$.
Vậy: $\boxed{AB\cdot AI=AC\cdot AK}$.
Từ đó: $\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$.
Lại có: $\widehat{IAK}=\widehat{CAB}$.
Suy ra: $\triangle AIK\sim\triangle ACB$ (c.g.c).
Vậy: $\boxed{\triangle AIK\sim\triangle ACB}$.