Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BD//CH
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CD//BH
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: BHCD là hình bình hành
nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của HD
Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA
nen Io//AH và IO=AH/2
=>AH=2OI
a: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔABM vuông tại B
=>\(\hat{ABM}=90^0\)
b: Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔACM vuông tại C
=>CA⊥CM
mà BH⊥CA
nên BH//CM
AB⊥BM
CH⊥AB
Do đó: BM//CH
Xét tứ giác BHCM có
BH//CM
BM//CH
Do đó: BHCM là hình bình hành
c: BHCM là hình bình hành
=>BC cắt HM tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của BC và HM
ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥BC
Xét ΔAHM có
I,O lần lượt là trung điểm của HM,AM
=>IO là đường trung bình của ΔAHM
=>AH=2OI
d: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có
\(\hat{DBH}=\hat{DAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
Do đó: ΔDBH~ΔDAC
=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}\)
=>\(DB\cdot DC=DH\cdot DA\)
a: Xét (O) có
ΔCAE nội tiếp
CE là đường kính
Do đó: ΔCAE vuông tại A
=>\(\hat{CAE}=90^0\)
b: \(\hat{BAH}+\hat{CBA}=90^0\) (AD⊥BC)
\(\hat{ACE}+\hat{AEC}=90^0\) (ΔAEC vuông tại A)
mà \(\hat{CBA}=\hat{AEC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CA)
nên \(\hat{BAH}=\hat{ACE}\)
c: Xét (O) có
ΔCBE nội tiếp
CE là đường kính
Do đó: ΔCBE vuông tại B
=>BC⊥BE
mà AH⊥BC
nên AH//BE
CA⊥ AE
BH⊥ CA
Do đó: BH//AE
Xét tứ giác AHBE có
AH//BE
AE//BH
Do đó: AHBE là hình bình hành
a: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BA⊥BK
mà CH⊥BA
nên CH//BK
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
=>AC⊥CK
mà BH⊥AC
nen BH//CK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: Xét (O) có
\(\hat{ABC};\hat{AKC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC
=>\(\hat{ABC}=\hat{AKC}\)
Xét ΔAMB vuông tại M và ΔACK vuông tại C có
\(\hat{ABM}=\hat{AKC}\)
Do đó: ΔAMB~ΔACK
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AK}\)
=>\(AM\cdot AK=AB\cdot AC\)
c: ΔOBC cân tại O
mà OP là đường cao
nên P là trung điểm của BC
BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>P là trung điểm của HK
Xét ΔHAK có
P,O lần lượt là trung điểm của KH,KA
=>PO là đường trung bình của ΔHAK
=>PO=AH/2
=>AH=2OP
a) Ta có: \(\angle AMH=\angle AEH=90\Rightarrow AEMH\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AME=\angle AHE\)
Ta có: \(\angle HEC+\angle HDC=90+90=180\Rightarrow HECD\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AHE=\angle ACD\Rightarrow\angle AME=\angle ACD\Rightarrow MECI\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AME=\angle ACI\)
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta ACI:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AME=\angle ACI\\\angle CAIchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AME\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AE}{AI}\Rightarrow AE.AC=AM.AI\)
b) Gọi T là trung điểm AH
Dễ dàng chứng minh được T là tâm (AEMH)
\(\Rightarrow\Delta TEH\) cân tại T \(\Rightarrow\angle TEH=\angle THE=\angle ACB\) (HECD nội tiếp)
\(\Delta EBC\) vuông tại E có I là trung điểm BC cân tại I
\(\Rightarrow\Delta EBI\) cân tại I \(\Rightarrow\angle BEI=\angle EBI\)
mà \(\angle EBI+\angle ACB=90\Rightarrow\angle BEI+\angle TEH=90\Rightarrow\angle TEI=90\)
\(\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của (AEMH)
\(\Rightarrow\angle IAE=\angle IEM=\angle ICM\) (EMIC nội tiếp)
mà \(\angle IAE=\angle NBC\) (NBAC nội tiếp) \(\Rightarrow\angle ICM=\angle NBC\)
\(\Rightarrow CM\parallel BN\)
Tương tự \(\Rightarrow BM\parallel CN\) \(\Rightarrow BMCN\) là hình bình hành
mà I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\) là trung điểm MN
a, Gọi I là trung điểm của BC
Tam giác BEC vuông tại E trung tuyến EI nên IE = IB = IC
Tam giác BFC vuông tại F trung tuyến FI nên IF = IB = IC
Vậy tứ giác BEFC cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB
b, Ta có :
\(\widehat{ACK}=90^0\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
= > BH // CK ( cùng vuông góc với AC )
Tương tự ta cũng có CH // BK
= > BHCK là hình bình hành
= > 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của BC
= > H,I,K thẳng hàng ( đpcm )
c, Dễ thấy các tứ giác AFHE và BFHD nội tiếp nên :
\(\widehat{DFE}=\widehat{DFH}+\widehat{HFE}=\widehat{HBD}+\widehat{HAF}=2\widehat{HBD}=2.\left(90^0-\widehat{C}\right)=180^0-2\widehat{C}\)
( Do góc HBD và HAF cùng phụ với góc C )
Lại có :
Tam giác EIC cân tại I nên :
\(\widehat{EIC}=180^0-\widehat{IEC}-\widehat{ECI}=180^0-2\widehat{C}\)
\(=>\widehat{EIC}=\widehat{DFE}\)
= > Tứ giác DFEI là tứ giác nội tiếp
= > D,F,E,I cùng thuộc 1 đường tròn