K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
22 tháng 2
cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm (0) và ngoại tiếp đường tròn tâm (I). Đường thẳng qua I vuông góc AI cắt BC tại T. a)Chứng minh TI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC . b) AI cắt lại (O) tại D ( D khác A), đoạn TI cắt (O) tại Q , QD cắt BC tại P. Chứng minh rằng IP^2= PB PC .c) Gọi E F, là tiếp điểm của ( I) theo thứ tự với AC AB , và N là trung điểm EF . Chứng minh rằng góc BNC tù
29 tháng 5 2017
A D E C I B J H K M O
- vÌ H là trực tâm của tam giác ABC , \(BD⊥BC,CE⊥AB\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\) nên BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm đường tròn nội tiếp BCDE là J ( trung điểm BC)
- I đối xứng với A qua O => AI là đường kính của đường tròn tâm O =>\(\widehat{ACI}=\widehat{ABI}=90^0\)vì\(\hept{\begin{cases}BD⊥AC\\CI⊥AC\end{cases}\Rightarrow BD}\downarrow\uparrow CI\left(1\right)\) VÀ\(\hept{\begin{cases}CE⊥AB\\BI⊥AB\end{cases}\Rightarrow CE\uparrow\downarrow BI\left(2\right)}\)Từ (1) và (2) BHCI là hình bình hành,mà J LÀ Trung điểm của BC nên J là giao điểm của hai đường chéo HI và BC của hbh BICH nên ta có I,J,H thẳng hàng (DPCM)
- Vì BCDE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ADK}\left(3\right)\)mặt khác ABIC nội tiếp (O) nên \(\widehat{IAC}=\widehat{IBC}\left(4\right)\)ta lại có \(BI⊥AB\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{IBC}=90^O\left(5\right)\)TỪ 3,4,5 ta có \(\widehat{IAC}+\widehat{ADK}=90^O\)hay \(DE⊥AM\Rightarrow\Delta ADM\)vuông tại D và có DE là đường cao tương ứng tại D nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có (DPCM) \(\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DA^2}+\frac{1}{DM^2}\)
a) Ta có tứ giác DIKC nội tiếp nên \(\widehat{DKI}=\widehat{ICD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ID)
Lại có tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{ICD}=\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Tứ giác AHDK cũng nội tiếp nên \(\widehat{HAD}=\widehat{DKH}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
Vậy nên \(\widehat{DKI}=\widehat{DKH}\) hay H, K, I thẳng hàng.
Cảm ơn cô nhưng em cần câu b và câu c
Giả sử \(AC\ge AB\)
tứ giác \(ABDC\)nội tiếp đường tròn
=>\(\widehat{IBD}=\widehat{KCD}\left(=180-\widehat{ACD}\right)\)
Do đó \(\Delta IBD\)đồng dạng \(\Delta KCD\)(góc nhọn)
=>\(\frac{BI}{ID}=\frac{CK}{DK}\)
TA CÓ \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{BI}{DI}+\frac{AK}{DK}-\frac{CK}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}\)
TA CÓ \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{BD}\right)\)\(\widehat{\Rightarrow\cot BAD}=\widehat{\cot BCD}\Leftrightarrow\frac{AI}{DI}=\frac{CH}{DH}\)(1)
TƯƠNG TỰ \(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{MC}\right)\Rightarrow\frac{AK}{DK}=\frac{BH}{DH}\)(2)
TỪ (1) VÀ (2)=>\(\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}=\frac{CH}{DH}+\frac{BH}{DH}=\frac{BC}{DH}\)
=>\(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
A B C O I H K D P Q
a) Dễ thấy các tứ giác: BIDH,BKDH nội tiếp => ^DHI = ^DBI = ^ACD = 1800 - ^DHK => 3 điểm H,I,K thẳng hàng (đpcm).
b) Gọi độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của \(\Delta\)DIK là h. Ta có các cặp tam giác đồng dạng sau (theo TH g.g)
\(\Delta\)DIK ~ \(\Delta\)DBC => \(\frac{IK}{h}=\frac{BC}{DH}\) (1)
\(\Delta\)ACD ~ \(\Delta\)IHD => \(\frac{IH}{h}=\frac{AC}{DK}\) (2)
\(\Delta\)DBA ~ \(\Delta\)DHK => \(\frac{HK}{h}=\frac{AB}{DI}\) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{IH+HK}{h}=\frac{IK}{h}=\frac{BC}{DH}\)(đpcm).
c) Ta có: \(\Delta\)DBA ~ \(\Delta\)DHK (cmt), hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng DP và DQ
Nên \(\Delta\)DPA ~ \(\Delta\)DQK (c.g.c) => ^DPA = ^DQK => ^DPI = ^DQI (Kề bù)
=> Tứ giác DIPQ nôi tiếp => ^DQP + ^DIP = 1800. Mà ^DIP = 900 nên ^DQP = 900
=> PQ vuông góc DQ (đpcm).