1: ΔABC vuông tại A

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD vuông góc AC

Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ

nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO

2: I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(I) tiếp xúc (O) tại A

3: Xét (I) có

ΔAEO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAEO vuông tại E

Xét tứ giác AEOD có

góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ

=>AEOD là hình chữ nhật

=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,D thẳng hàng

a: Xét (D) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔBFC vuông tại F

=>CF\(\perp\)FB tại F

=>CF\(\perp\)AB tại F

Xét (D) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)CE tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn (O), với O là trung điểm của AH

b: Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm

=>AH\(\perp\)BC

ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD\(\perp\)BC tại D

mà AH\(\perp\)BC và AH,AD có điểm chung là A

nên A,H,D thẳng hàng

=>O,H,D thẳng hàng

OH=OE

=>ΔOHE cân tại O

=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)

mà \(\widehat{BHD}=\widehat{OHE}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{HBD}\right)\)

nên \(\widehat{OEH}=\widehat{BCE}\)

DB=DE

=>ΔDBE cân tại D

=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

\(\widehat{OED}=\widehat{OEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (O)

a: (O) và (O') bằng nhau

=>AC=AD

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>\(\hat{ABC}=90^0\)

Xét (O') có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>\(\hat{ABD}=90^0\)

\(\hat{ABD}+\overline{}\hat{ABC}=90^0+90^0=180^0\)

=>C,B,D thẳng hàng

Xét ΔACD có AC=AD
nên ΔACD cân tại A

Xét (O) có

\(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

=>\(\hat{CAB}=\frac12\cdot\) sđ cung CB

Xét (O') có

\(\hat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

=>\(\hat{BAD}\) =1/2*sđ cung BD

ΔACD cân tại A

mà AB là đường cao

nên B là trung điểm của CD và AB là phân giác của góc CAD

=>\(\hat{CAB}=\hat{DAB}\)

=>Sđ cung CB của đường tròn (O)=sđ cung BD của đường tròn (O')

4:

a: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

b: XétΔKBD và ΔKAB có

góc KBD=góc KAB

góc K chung

=>ΔKBD đồng dạng vớiΔKAB

a: Xét ΔABC có

BM,CN là các đường cao

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại E

xét tứ giác ANEC có \(\hat{ANC}=\hat{AEC}=90^0\)

nên ANEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác AMEB có \(\hat{AMB}=\hat{AEB}=90^0\)

nên AMEB là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác BNHE có \(\hat{BNH}+\hat{BEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BNHE là tứ giác nội tiếp

d: Xét tứ giác MHEC có \(\hat{HMC}+\hat{HEC}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHEC là tứ giác nội tiếp

e: Xét tứ giác BNMC có \(\hat{BNC}=\hat{BMC}=90^0\)

nên BNMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{MNC}=\hat{MBC}\) (1)

BNHE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HBE}=\hat{HNE}\)

=>\(\hat{ENC}=\hat{MBC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{MNC}=\hat{ENC}\)

=>NC là phân giác của góc MNE