Cho tam giác ABC nhon  nội tiếp đ/tr(O), có đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H, tia AK cắt (O) tại Q. N là trung điểm BC, F là trung điểm AH. Kẽ đường kính AG của (O), đường thẳng qua Q song song với ED cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là T( T khác Q). Gọi J là giao  điểm NF và ED

a)      BEDC, và AEHD là các tứ giác nội tiếp.

b)      FD vuông góc với ND, suy ra: ND2 = NJ.NF

cho tam giác ABC nhọn \((AB< AC)\). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H và AH cắt BC tại K.

a) CM: tứ giác BEHK nội tiếp và KA là tia phân giác của góc EKD

b) Gọi AI, AJ là các tiếp tuyến của (O) (D, J nằm cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là AK). CM: \(\widehat{IKE}=\widehat{DKJ}\)

c) CM: J, H, I thẳng hàng

d) Đường thẳng qua K, song song với ED, cắt AB, CH lần lượt tại Q, S. CMR: KQ=KS

Cho nhọn \(\Delta ABC\) (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và (O) lần lượt tạI F và K (\(K\ne A\)) . Gọi L là hình chiếu của D trên AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và \(BD^2=BL.BA\)

b) Gọi J là giao điểm của KD và (O), (\(J\ne K\)). Chứng minh \(\widehat{BJK}=\widehat{BDE}\)

c) Gọi I là giao điểm của BJ và ED. Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm của ED.

cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R và C là điểm bất kì trên (O) ( c không trùng A,B). Tiếp tuyến tại A của (o) cắt BC tại I. Gọi M là trung điểm BC

a) CM: TG AOMI nội tiếp

b) kẻ dây cung AK \(\perp vớiOI\)tại H. CM TG AIKM nội tiếp

c) CM 2 đường thẳng CO,KM và đường thẳng qua A song song với BC cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O) và HK LÀ TIA PHÂN GIÁC \(\widehat{CHB}\)

d) gọi E là giao điểm của tia AK và OM. CM EB là tiếp tuyến cùa đường tròn (o)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .

Gọi M là trung điểm BC, I là trung điểm AH. Dựng đường kính AK của (O). Gọi P là giao điểm thứ 2 của AH với (O) (P khác A).

a, Chứng minh: 4 điểm A,E, H,F nằm trên một đường tròn.

b, Chứng minh: IM là đường trung trực của EF.

c, Chứng minh: H, K, M thẳng hàng từ đó suy ra OA 1 EF.

d, Chứng minh: ME,MF là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF .

e, Chứng minh: P đối xứng với H qua BC. Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác

HBC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có cùng bán kính.

f, Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF (N khác A). Chứng minh: MH.MN =

BC^/4

1. Cho \(\widehat{xOy}=90^0\). Lấy \(I\in Ox,K\in Oy\). Vẽ (I ; OK) cắt tia đối của IO tại M .Vẽ (K ; OI) cắt tia đối của KO tại N. (I) và (K) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại M của (I) và tiếp tuyến tại N của (K) cắt nhau tại C. Chứng minh A,B,C thẳng hàng

2. Cho \(\Delta ABC\) nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADE\)

3. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A nội tiếp (O) đường kính 5cm . Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt phân giác \(\widehat{ABC}\)tại K . BK cắt AC tại D và BD = 4cm . Tính độ dài BK .  

4. Cho (O ; R).Từ một điểm M ở ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt (O) tại E, ME cắt (O) tại F. MO cắt AF, AB lần lượt tại N, H. Chứng minh MN = NH

5. Cho \(\Delta ABC\)nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ \(BD\perp AO\)(D nằm giữa A và O). Gọi M là trung điểm BC. AC cắt BD, MD lần lượt tại N, F. BD cắt (O) tại E. BF cắt AD tại H. Chứng minh DF // CE

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H và AH cắt BC tại K.

a) Chứng minh tứ giác BEHK nội tiếp và KA là phân giác của góc EKD.

b) Gọi AI, AJ là các tiếp tuyến của đường tròn (O), (I, J là các tiếp điểm và hai điểm D, J nằm trên cùng một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AK). Chứng minh \(\widehat{IKE}=\widehat{DKJ}\) .

c) Chứng minh 3 điểm J, H, I thẳng hàng.

d) Đường thẳng qua K và song song với ED cắt AB và CH lần lượt tại Q và S . Chứng minh KQ KS = .

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AB<AC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại E; AE cắt (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng d qua E và song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM cắt (O) tại N (khác điểm A).

a) Chứng minh: \(EB^2=ED.EA\)và \(\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}\)

b) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua 1 điểm

c) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP

d) Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân

cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B,C là các điểm).Gọi H là giao điểm của AO và BC, I là trung điểm của BH. Đường thẳng qua I vuông góc với OB cắt (O) tại hai điểm D,K(D thuộc cung nhỏ BC).Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E.DK cắt BE tại F

a/ Chứng minh ICEF là tứ giác nội tiếp

b/Chứng minh \(\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}\)

c/CMR BD.CE=BE.CD và \(BF.CE^2=BE.CD^2\)