a: Xét tứ giác BKHC có 

\(\widehat{BKC}=\widehat{BHC}=90^0\)

Do đó: BHKC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (BC/2) có

BC là đường kính

KH là dây

Do đó: KH<BC

a: Xét tứ giác BKHC có 

\(\widehat{BKC}=\widehat{BHC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: BHKC là tứ giác nội tiếp

hay B,H,K,C cùng nằm trên một đường tròn

Tâm là trung điểm của BC

ta có tam giác AKI vuông tại K nên AKI nằm trên đường tròn đường kinh AI

tam giác AHI vuông tại H nên AHI nằm trên đường tròn đường kinh AI

Nên AKIH nằm trên đường tròn đường kinh AI, tâm là trung điểm của AI

;))

haha.

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm M của BC

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

c: Gọi AD là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD⊥BA

mà CH⊥BA

nên CH//BD

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CA⊥CD
mà BH⊥CA

nên BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm cua DH

Xét ΔDHA có

M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA

=>MO là đường trung bình của ΔDAH

=>MO=1/2HA

Câu c) ta có KEI=KEH+BEI=KHE+EBI=BHD+HBD=90 độ ( tam giác khe cân tại k và tam giác eib cân tại i)

Câu d) có ke=ka=kh=fk và ei = bi=ic=fi ( tam giác vuông - đường trung tuyến)

Suy ra KI là đường trung trực của FE suy ra dpcm

a) Do BE và CF là các đường cao trong tam giác ABC nên ˆBEC=90∘, ˆBFC=90∘ 

Tứ giác BCEF có góc E và góc F cùng nhìn cạnh BC và bằng nhau (cùng bằng 90∘) nên là tứ giác nội tiếp.

b) Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp nên ˆAFE=ˆACB, mà ˆACB=ˆASB (cùng chắn cung AB) nên ˆAFE=ˆASB

Suy ra tứ giác BFMS là tứ giác nội tiếp.

Do đó ˆFMS=180∘−ˆFBS=90∘.. Vậy OA ⊥⊥ EF.

c)

+) Tứ giác BCEF nội tiếp nên ˆAEF=ˆABC (1)

Từ OA ⊥ PE suy ra ˆAIB=ˆAPE(cùng phụ với ˆMAP). (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔAPE∽ΔABI (g.g).

+) Tứ giác BHCS có BH // CS (cùng vuông góc với AS) và BS // CH (cùng vuông góc với AB) nên là hình bình hành. Do đó ba điểm H, K, S thẳng hàng.

Ta sẽ chứng minh hai góc đồng vị ˆPIM và HSM^ bằng nhau.

Tứ giác PDIM nội tiếp (vì có hai góc vuông M và D đối nhau) nên ˆPIM=ˆPDM (3)

Ta có:

ΔAHE∽ΔACDΔ nên AH.AD = AE.AC.

ΔAME∽ΔACSnên AM.AS = AE.AC.

Suy ra AH.AD = AM.AS ⇒AH/AM=AS/AD.

Do đó ΔMAH∽ΔDAS(c.g.c). Suy ra AHM^=ASD^.

Từ đó ta có tứ giác DHMS là tứ giác nội tiếp. Suy ra ˆHDM=ˆHSM. (4)

Từ (3) và (4) suy ra HS // PI, hay KH // PI.

b: Xét tứ giác ANHM có 

\(\widehat{ANH}+\widehat{AMH}=180^0\)

Do đó: ANHM là tứ giác nội tiếp

hay A,N,H,M cùng thuộc 1 đường tròn