Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.

xin

a, CM tam giác ACH = tam giác KCH

Xét tam giác ACH và tam giác KCH, có:

- AH = KH (H là trung điểm AK)

- góc AHC = góc KHC = 90 độ

- cạnh HC chung

=> tam giác ACH = tam giác KCH (đpcm)

b, Gọi E là trung điểm của BC. Trên tia đối của tía EA lấy điểm D sao cho AE=DE. CM: BD song song với AC

Xét tam giác AEC và tam giác DEB, có:

- AE = DE (giả thiết)

- BE = CE (E là trung điểm BC)

- góc AEC = góc DEB (2 góc đối nhau)

=> tam giác AEC = tam giác DEB

=> góc EAC = góc EDB, góc ECA = góc EBD (góc tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

=> DB // AC  (so le trong) (đpcm)

c, EB là phân giác của góc AEK

Xét tam giác EHA và tam giác EHK, có:

- EH chung

- góc EHA = góc EHK = 90 độ

- HA = HK (H là trung điểm AK)

=> tam giác EHA = tam giác EHK

=> EA = EK => tam giác EAK cân tại E

mà H là trung điểm AK

=> EH là trung tuyến, trung tực, phân giác của tam giác cân EAK

Ta có EH là phân giác của góc AEK

mà B,H,E thẳng hàng

=> EB là phân giác của góc AEK (đpcm)

d, Gọi F là trung điểm của KD. I là giao điểm BD và KC. CM: A,F,I thẳng hàng

(chưa nghĩ ra)

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.