Đề có vấn đề :

Lỗi 1 : Gọi M, N là 2 điểm đối xứng của B qua AB, AC.

B nằm trên AB nên M không thể đối xứng

Lỗi 2 : M,F,E,N đồng quy ????? 

a) chỉ cần chứng minh N,E,F thẳng hàng

sau đó CM E,F,M thẳng hằng

b) vì H là trực tâm của △ABC⇒H cx là trực tâm của △EFD (nối ba điểm E,F,D ta có △EFD)

sau đó sử dụng tính chất ba đg cao cắt nhau tại 1 điểm thì điểm đó sẽ cách đều ba cạnh của tam giác đó:H là trực tâm ⇒HE=HF=HD

M đối xứng D qua AB

=>AB là đường trung trực của DM

=>AB⊥DM tại trung điểm của DM

=>AM=AD và BM=BD

F nằm trên đường trung trực của DM

=>FD=FM

N đối xứng D qua AC

=>AC là đường trung trực của DN

=>AC⊥DN tại trung điểm của DN

=>AD=AN và CD=CN

E nằm trên đường trung trực của DN

=>ED=EN

Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

BM=BD

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{AMB}=\hat{ADB}=90^0\)

ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{MAB}=\hat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc MAD

=>\(\hat{MAD}=2\cdot\hat{BAD}\)

Xét ΔFMB và ΔFDB có

FM=FD

MB=DB

FB chung

Do đó: ΔFMB=ΔFDB

=>\(\hat{MFB}=\hat{DFB}\)

=>FB là phân giác của góc MFD

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

DC=NC

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{ANC}=\hat{ADC}=90^0\)

ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{DAC}=\hat{NAC}\)

=>AC là phân giác của góc DAN

=>\(\hat{DAN}=2\cdot\hat{DAC}\)

Xét ΔEDC và ΔENC có

ED=EN

DC=NC

EC chung

Do đó: ΔEDC=ΔENC

=>\(\hat{DEC}=\hat{NEC}\)

=>EC là phân giác của góc DEN

\(\hat{MAN}=\hat{MAD}+\hat{NAD}\)

\(=2\left(\hat{BAD}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}\)

AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}=\frac{180^0-\hat{MAN}}{2}=\frac{180^0-2\cdot\hat{BAC}}{2}=90^0-\hat{BAC}\)

Xét ΔAMF có \(\hat{BFM}\) là góc ngoài tại đỉnh F

nên \(\hat{BFM}=\hat{FMA}+\hat{FAM}\)

\(=90^0-\hat{BAC}+\hat{MAB}=90^0-\hat{BAC}+\hat{BAD}=90^0-\hat{BAC}+90^0-\hat{ABC}\)

\(=180^0-\left(\hat{BAC}+\hat{ABC}\right)=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BFD}+\hat{AFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

=>AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

Vì \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=\hat{ANC}=90^0\)

nên A,F,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính AC
\(\hat{AFC}=90^0\)

=>CF⊥AB

Xét ΔAEN có \(\hat{NEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\hat{NEC}=\hat{EAN}+\hat{ENA}\)

\(=\hat{DAC}+90^0-\hat{BAC}=90^0-\hat{ACB}+90^0-\hat{BAC}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{CED}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CED}+\hat{AED}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DBA}+\hat{DEA}=180^0\)

=>ABDE nội tiếp

=>\(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)

=>BE⊥AC tại E

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

Do đó: AD,BE,CF đồng quy

1) Ta có: BH vuông góc với AC

               CK vuông góc với AC

      => BH//CK

Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk

Xét tứ giác BHCK có:    BH//CK

                                     CH//BK

=> Tứ giác BHCK là hbh

Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng

2.gọi HI cắt BC tại J

Xét tam giác HIK có:  J là trung điểm của HI

                                   M là trung điểm của HK

=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK

=> IK//MJ hay IK//BC

Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;

                HJ=JI

       góc BJH=góc BJI=90

              BJ chung

=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ

=> Góc HBJ= góc IBJ

Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)

Xét tứ  giác BIKC có:

           KI//BC

góc IBC= góc KCB

=>Tứ giác BIKC là hình thang cân

3.Xét tứ giác GHCK có:     GK//HC  (doBK//HC)

=> Tứ giác GHCK là hình thang

Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)

mà GHC+HCB=90

      KCH+HCA=90

=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB

Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB

                                   CH là đường cao trong tam giác ABC

=> Tam giác ABC cân tại C

Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C

1; Xét tứ giác BHCN có

M là trung điểm chung của BC và HN

=>BHCN là hình bình hành

=>BN//CH và BH//CN

BN//CH

CH⊥AB

Do đó: BN⊥BA

=>B nằm trên đường tròn đường kính AN(1)

BH//CN

BH⊥AC

Do đó: CN⊥CA

=>C nằm trên đường tròn đường kính AN(2)

Từ (1),(2) suy ra A,B,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính AN

=>A,B,C cùng thuộc (O)

=>OA=OB=OC

=>O cách đều ba đỉnh của ΔABC

2: AB+CF<AC+BE

=>AB-AC<BE-CF

Xét ΔABC có BE,CF là các đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot CF\cdot AB\)

=>\(BE\cdot AC=CF\cdot AB=2\cdot S\)

=>\(BE=\frac{2S}{AC};CF=\frac{2S}{AB}\)

\(BE-CF=2S\left(\frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}\right)=2S\cdot\frac{AB-AC}{AC\cdot AB}\)

\(=AB\cdot CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AB\cdot AC}=CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AC}=\frac{CF}{AC}\cdot\left(AB-AC\right)\)

mà CF/AC<1(ΔACF vuông tại F)

và AB-AC<0

nên BE-CF>AB-AC

=>BE+AC>AB+CF

=>\(\left(EB+AC\right)^2>\left(AB+CF\right)^2\)

1) Ta có: BH vuông góc với AC

               CK vuông góc với AC

      => BH//CK

Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk

Xét tứ giác BHCK có:    BH//CK

                                     CH//BK

=> Tứ giác BHCK là hbh

Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng

2.gọi HI cắt BC tại J

Xét tam giác HIK có:  J là trung điểm của HI

                                   M là trung điểm của HK

=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK

=> IK//MJ hay IK//BC

Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;

                HJ=JI

       góc BJH=góc BJI=90

              BJ chung

=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ

=> Góc HBJ= góc IBJ

Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)

Xét tứ  giác BIKC có:

           KI//BC

góc IBC= góc KCB

=>Tứ giác BIKC là hình thang cân

3.Xét tứ giác GHCK có:     GK//HC  (doBK//HC)

=> Tứ giác GHCK là hình thang

Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)

mà GHC+HCB=90

      KCH+HCA=90

=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB

Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB

                                   CH là đường cao trong tam giác ABC

=> Tam giác ABC cân tại C

Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C

1; Xét tứ giác BHCN có

M là trung điểm chung của BC và HN

=>BHCN là hình bình hành

=>BN//CH và BH//CN

BN//CH

CH⊥AB

Do đó: BN⊥BA

=>B nằm trên đường tròn đường kính AN(1)

BH//CN

BH⊥AC

Do đó: CN⊥CA

=>C nằm trên đường tròn đường kính AN(2)

Từ (1),(2) suy ra A,B,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính AN

=>A,B,C cùng thuộc (O)

=>OA=OB=OC

=>O cách đều ba đỉnh của ΔABC

2: AB+CF<AC+BE

=>AB-AC<BE-CF

Xét ΔABC có BE,CF là các đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot CF\cdot AB\)

=>\(BE\cdot AC=CF\cdot AB=2\cdot S\)

=>\(BE=\frac{2S}{AC};CF=\frac{2S}{AB}\)

\(BE-CF=2S\left(\frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}\right)=2S\cdot\frac{AB-AC}{AC\cdot AB}\)

\(=AB\cdot CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AB\cdot AC}=CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AC}=\frac{CF}{AC}\cdot\left(AB-AC\right)\)

mà CF/AC<1(ΔACF vuông tại F)

và AB-AC<0

nên BE-CF>AB-AC

=>BE+AC>AB+CF

=>\(\left(EB+AC\right)^2>\left(AB+CF\right)^2\)