Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) chỉ cần chứng minh N,E,F thẳng hàng
sau đó CM E,F,M thẳng hằng
b) vì H là trực tâm của △ABC⇒H cx là trực tâm của △EFD (nối ba điểm E,F,D ta có △EFD)
sau đó sử dụng tính chất ba đg cao cắt nhau tại 1 điểm thì điểm đó sẽ cách đều ba cạnh của tam giác đó:H là trực tâm ⇒HE=HF=HD
M đối xứng D qua AB
=>AB là đường trung trực của DM
=>AB⊥DM tại trung điểm của DM
=>AM=AD và BM=BD
F nằm trên đường trung trực của DM
=>FD=FM
N đối xứng D qua AC
=>AC là đường trung trực của DN
=>AC⊥DN tại trung điểm của DN
=>AD=AN và CD=CN
E nằm trên đường trung trực của DN
=>ED=EN
Xét ΔAMB và ΔADB có
AM=AD
BM=BD
AB chung
Do đó: ΔAMB=ΔADB
=>\(\hat{AMB}=\hat{ADB}=90^0\)
ΔAMB=ΔADB
=>\(\hat{MAB}=\hat{DAB}\)
=>AB là phân giác của góc MAD
=>\(\hat{MAD}=2\cdot\hat{BAD}\)
Xét ΔFMB và ΔFDB có
FM=FD
MB=DB
FB chung
Do đó: ΔFMB=ΔFDB
=>\(\hat{MFB}=\hat{DFB}\)
=>FB là phân giác của góc MFD
Xét ΔADC và ΔANC có
AD=AN
DC=NC
AC chung
Do đó: ΔADC=ΔANC
=>\(\hat{ANC}=\hat{ADC}=90^0\)
ΔADC=ΔANC
=>\(\hat{DAC}=\hat{NAC}\)
=>AC là phân giác của góc DAN
=>\(\hat{DAN}=2\cdot\hat{DAC}\)
Xét ΔEDC và ΔENC có
ED=EN
DC=NC
EC chung
Do đó: ΔEDC=ΔENC
=>\(\hat{DEC}=\hat{NEC}\)
=>EC là phân giác của góc DEN
\(\hat{MAN}=\hat{MAD}+\hat{NAD}\)
\(=2\left(\hat{BAD}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}\)
AM=AD
AN=AD
Do đó: AM=AN
=>ΔAMN cân tại A
=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}=\frac{180^0-\hat{MAN}}{2}=\frac{180^0-2\cdot\hat{BAC}}{2}=90^0-\hat{BAC}\)
Xét ΔAMF có \(\hat{BFM}\) là góc ngoài tại đỉnh F
nên \(\hat{BFM}=\hat{FMA}+\hat{FAM}\)
\(=90^0-\hat{BAC}+\hat{MAB}=90^0-\hat{BAC}+\hat{BAD}=90^0-\hat{BAC}+90^0-\hat{ABC}\)
\(=180^0-\left(\hat{BAC}+\hat{ABC}\right)=\hat{ACB}\)
=>\(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)
mà \(\hat{BFD}+\hat{AFD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)
=>AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)
Vì \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=\hat{ANC}=90^0\)
nên A,F,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính AC
\(\hat{AFC}=90^0\)
=>CF⊥AB
Xét ΔAEN có \(\hat{NEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E
nên \(\hat{NEC}=\hat{EAN}+\hat{ENA}\)
\(=\hat{DAC}+90^0-\hat{BAC}=90^0-\hat{ACB}+90^0-\hat{BAC}=\hat{ABC}\)
=>\(\hat{CED}=\hat{CBA}\)
mà \(\hat{CED}+\hat{AED}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{DBA}+\hat{DEA}=180^0\)
=>ABDE nội tiếp
=>\(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)
=>BE⊥AC tại E
Xét ΔABC có
AD,BE,CF là các đường cao
Do đó: AD,BE,CF đồng quy
1) Ta có: BH vuông góc với AC
CK vuông góc với AC
=> BH//CK
Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk
Xét tứ giác BHCK có: BH//CK
CH//BK
=> Tứ giác BHCK là hbh
Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng
2.gọi HI cắt BC tại J
Xét tam giác HIK có: J là trung điểm của HI
M là trung điểm của HK
=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK
=> IK//MJ hay IK//BC
Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;
HJ=JI
góc BJH=góc BJI=90
BJ chung
=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ
=> Góc HBJ= góc IBJ
Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)
Xét tứ giác BIKC có:
KI//BC
góc IBC= góc KCB
=>Tứ giác BIKC là hình thang cân
3.Xét tứ giác GHCK có: GK//HC (doBK//HC)
=> Tứ giác GHCK là hình thang
Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)
mà GHC+HCB=90
KCH+HCA=90
=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB
Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB
CH là đường cao trong tam giác ABC
=> Tam giác ABC cân tại C
Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C
1; Xét tứ giác BHCN có
M là trung điểm chung của BC và HN
=>BHCN là hình bình hành
=>BN//CH và BH//CN
BN//CH
CH⊥AB
Do đó: BN⊥BA
=>B nằm trên đường tròn đường kính AN(1)
BH//CN
BH⊥AC
Do đó: CN⊥CA
=>C nằm trên đường tròn đường kính AN(2)
Từ (1),(2) suy ra A,B,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính AN
=>A,B,C cùng thuộc (O)
=>OA=OB=OC
=>O cách đều ba đỉnh của ΔABC
2: AB+CF<AC+BE
=>AB-AC<BE-CF
Xét ΔABC có BE,CF là các đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot CF\cdot AB\)
=>\(BE\cdot AC=CF\cdot AB=2\cdot S\)
=>\(BE=\frac{2S}{AC};CF=\frac{2S}{AB}\)
\(BE-CF=2S\left(\frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}\right)=2S\cdot\frac{AB-AC}{AC\cdot AB}\)
\(=AB\cdot CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AB\cdot AC}=CF\cdot\frac{AB\cdot AC}{AC}=\frac{CF}{AC}\cdot\left(AB-AC\right)\)
mà CF/AC<1(ΔACF vuông tại F)
và AB-AC<0
nên BE-CF>AB-AC
=>BE+AC>AB+CF
=>\(\left(EB+AC\right)^2>\left(AB+CF\right)^2\)
1) Ta có: BH vuông góc với AC
CK vuông góc với AC
=> BH//CK
Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk
Xét tứ giác BHCK có: BH//CK
CH//BK
=> Tứ giác BHCK là hbh
Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng
2.gọi HI cắt BC tại J
Xét tam giác HIK có: J là trung điểm của HI
M là trung điểm của HK
=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK
=> IK//MJ hay IK//BC
Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;
HJ=JI
góc BJH=góc BJI=90
BJ chung
=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ
=> Góc HBJ= góc IBJ
Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)
Xét tứ giác BIKC có:
KI//BC
góc IBC= góc KCB
=>Tứ giác BIKC là hình thang cân
3.Xét tứ giác GHCK có: GK//HC (doBK//HC)
=> Tứ giác GHCK là hình thang
Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)
mà GHC+HCB=90
KCH+HCA=90
=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB
Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB
CH là đường cao trong tam giác ABC
=> Tam giác ABC cân tại C
Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C
Đề có vấn đề :
Lỗi 1 : Gọi M, N là 2 điểm đối xứng của B qua AB, AC.
B nằm trên AB nên M không thể đối xứng
Lỗi 2 : M,F,E,N đồng quy ?????