a: Xét (I) có

ΔAMH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAMH vuông tại M

=>HM⊥AB tại M

Xét (I) có

ΔAHN nội tiếp

AH là đường kính

Do đo: ΔANH vuông tại N

=>HN⊥AC tại N

Ta có: \(\hat{AHM}+\hat{HAM}=90^0\) (ΔAMH vuông tại M)

\(\hat{ABH}+\hat{HAM}=90^0\) (ΔHAB vuông tại H)

Do đó: \(\hat{AHM}=\hat{ABH}\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{AMN}+\hat{NMB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{NMB}+\hat{NCB}=180^0\)

=>MNCB là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔHAC có

D,I lần lượt là trung điểm của HC,HA

=>DI là đường trung bình của ΔHAC

=>DI//AC

=>DI⊥AB

Xét ΔDAB có

DI,AH là các đường cao

DI cắt AH tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔDAB

=>BI⊥AD

a) Ta có A, E, F, K, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Ta có \(\widehat{AMN}=90^o-\widehat{OAB}=90^o-\dfrac{180^o-\widehat{AOB}}{2}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}=\widehat{ACB}\).

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp và \(\Delta SMB\sim\Delta SCN\left(g.g\right)\) nên \(SM.SN=SB.SC\).

c) Ta có \(\widehat{QCB}=\widehat{QAB}=\widehat{HCB};\widehat{QBC}=\widehat{HBC}\) nên Q, H đối xứng với nhau qua BC.

Mà S thuộc BC nên SH = SQ.

Ta lại có \(\widehat{SHB}=\widehat{BHF}-\widehat{MHF}=\widehat{BAC}-\left(90^o-\widehat{AMH}\right)=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}-90^o=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{SCH}\Rightarrow\Delta SHB\sim\Delta SCH\left(g.g\right)\Rightarrow SQ^2=SH^2=SB.SC\).

d) I là điểm nào vậy bạn?

I là trđ AH...quên tí:)))

Chọn đáp án D

* Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.

- Từ giả thiết suy ra: 

=> H và F thuộc đường tròn đường kính AB (quỹ tích cung chứa góc)

Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB

- Gọi M là trung điểm của BC (gt), suy ra: OM ⊥ BC

Khi đó: 

Nên M, F thuộc đường tròn đường kính OB(quỹ tích cung chứa góc).

Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB

* Chứng minh HE // BD.

Dễ chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Và chúng ở vị trí so le trong suy ra: HE // BD

a)

Xét (O) có

M là trung điểm của dây BC(gt)

nên OM\(\perp\)BC(Định lí đường kính vuông góc với dây)

Xét tứ giác BMOF có 

\(\widehat{BFO}+\widehat{BMO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

nên BMOF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)