Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có $AD \perp BC$ nên $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ vuông tại $D$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AD$: $AD^2 = BD \cdot DC$.
Mặt khác: $AD = AH + HD$.
=> $AD \cdot HD = (AH + HD)\cdot HD$.
Mà trong tam giác vuông: $AH \cdot HD = BD \cdot DC$.
Do đó: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$.
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:
Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.
=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.
Gọi $I = EF \cap AH$.
Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra tỉ số:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.
Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.
Vậy: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ và $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.
Hãy nhớ lại kiến thức lớp 7: Trong 1 tam giác, 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm và điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác (điểm này gọi là tâm đường tròn nộ tiếp). Nối E -> F; E -> D ; D -> F. Ta sẽ chứng minh H là giao điểm 3 đường phân giác.
Ta chứng minh được ∆AFC ~ ∆AEB(g.g)
=> AF/AE = AC/AB
=> AF/AC = AE/AB.
=> ta chứng minh được ∆AEF ~ ∆ABC(c.g.c)
=> góc AEF = góc ABC, chứng minh tương tư ta được ∆CED ~ ∆CBA
=> góc CED = góc ABC
=> góc AEF = góc CED ( = góc ABC), ta có: góc FEB = 90º - góc AEF và góc BED = 90º - góc CED, mà góc AEF = góc CED
=> góc FEB = góc BED
=> BE là phân giác góc FED
=> EH là phân giác góc FED, chứng minh tương tự ta được DH là phân giác góc EDF và FH là phân giác góc EFD
1: Xét ΔDCH vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có
\(\widehat{DCH}=\widehat{DAB}\)
Do đó:ΔDCH đồng dạng với ΔDAB
=>\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{DH}{DB}\)
=>\(DC\cdot DB=DA\cdot DH\)
2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC
3)
Gọi $I = EF \cap AD$.
Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ suy ra các tỉ số: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.
Mặt khác, do các cặp góc bằng nhau suy ra: $\triangle AIH \sim \triangle ADH$.
=> $\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.
Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.
Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$.
=> $A,E,F,H$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).
Vì $I$ là trung điểm của $AH$ nên:
$I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$.
Do đó: $IE = IF$.
Lại có $O$ là trung điểm của $BC$ nên: $OB = OC$.
Xét tam giác $BHC$ ta có:
$HB = HC$ (tính chất trực tâm trong tam giác nhọn).
=> $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
Do đó: $OH \perp BC$.
Mà $E,F \in BC$ nên: $OE \perp IH,\quad OF \perp IH$.
=> $\widehat{IEO} = 90^\circ,\quad \widehat{IFO} = 90^\circ$.
Vậy: $\triangle IEO$ và $\triangle IFO$ đều là tam giác vuông.