Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C A' B' C' H I M N
a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)
A B C A' H I I x D
vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA giao điểm Cx tại I
\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)
Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC
\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2
\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2
\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2
\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2
\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC
tương tự , 4BB'2 \(\le\) ( AB + BC )2 - AC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC
4AA'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC
Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều
Xét ΔAB'B vuông tại B' có cos A=\(\frac{AB^{\prime}}{AB}\)
=>\(AB^{\prime}=AB\cdot cosA\)
Xét ΔB'CB vuông tại B' cos C=\(\frac{CB^{\prime}}{CB}\)
=>\(CB^{\prime}=CB\cdot cosC\)
Xét ΔABA' vuông tại A' có cos B=\(\frac{BA^{\prime}}{BA}\)
=>\(BA^{\prime}=BA\cdot cosB\)
Xét ΔCA'A vuông tại A' có cos C=\(\frac{CA^{\prime}}{CA}\)
=>\(CA^{\prime}=CA\cdot cosC\)
Xét ΔCC'B vuông tại C' có cos B=\(\frac{BC^{\prime}}{BC}\)
=>\(BC^{\prime}=BC\cdot cosB\)
Xét ΔAC'C vuông tại C' có cosA=\(\frac{AC^{\prime}}{AC}\)
=>\(AC^{\prime}=AC\cdot cosA\)
\(S_1=S_{AB^{\prime}C^{\prime}}=\frac12\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}\cdot\sin A\)
\(=\frac12\cdot AB\cdot cosA\cdot AC\cdot cosA\cdot\sin A=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\cdot cos^2A=S_{ABC}\cdot cos^2A\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Kẻ AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA⊥BD
mà CH⊥BA
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA⊥CD
mà BH⊥CA
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm M của mỗi đường
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC tại M và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BAC}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cosBAC\)
=>\(OM=R\cdot cosBAC\)
Xét ΔAHD có
O,M lần lượt là trung điểm của AD,HD
=>OM là đường trung bình của ΔAHD
=>OM//AH và OM=1/2AH
=>\(AH=2R\cdot cosBAC\)
\(\frac{S_1}{AH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2A}{4R^2\cdot cos^2A}=\frac{S_{ABC}}{4\cdot R^2}\) (3)
\(S_2=S_{BC^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot cosABC\cdot BA\cdot cosABC\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot BA\cdot\sin ABC\cdot cos^2ABC=S_{ABC}\cdot cos^2ABC\)
Kẻ BE là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBAE vuông tại A
=>EA⊥ BA
mà CH⊥BA
nên EA//CH
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>CB⊥CE
mà AH⊥BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
AE//CH
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm N của mỗi đường
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON⊥AC tại N và ON là phân giác của góc AOC
ON là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AON}=\hat{CON}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\hat{ABC}\)
Xét ΔONA vuông tại N có cosNOA=\(\frac{ON}{OA}\)
=>\(ON=R\cdot cosABC\)
Xét ΔEBH có
O,N lần lượt là trung điểm của EB,EH
=>ON là đường trung bình của ΔEBH
=>BH=2ON
=>\(BH=2\cdot R\cdot cosABC\)
\(\frac{S_2}{BH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2ABC}{4\cdot R^2\cdot cos^2ABC}=\frac{S_{ABC}}{4R^2}\) (2)
\(S_3=S_{CA^{\prime}B^{\prime}}=\frac12\cdot CA^{\prime}\cdot CB^{\prime}\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot cosACB\cdot CB\cdot cosACB\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB\cdot cos^2ACB=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Kẻ CF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔCAF nội tiếp
CF là đường kính
...
Xét ΔAB'B vuông tại B' có cos A=\(\frac{AB^{\prime}}{AB}\)
=>\(AB^{\prime}=AB\cdot cosA\)
Xét ΔB'CB vuông tại B' cos C=\(\frac{CB^{\prime}}{CB}\)
=>\(CB^{\prime}=CB\cdot cosC\)
Xét ΔABA' vuông tại A' có cos B=\(\frac{BA^{\prime}}{BA}\)
=>\(BA^{\prime}=BA\cdot cosB\)
Xét ΔCA'A vuông tại A' có cos C=\(\frac{CA^{\prime}}{CA}\)
=>\(CA^{\prime}=CA\cdot cosC\)
Xét ΔCC'B vuông tại C' có cos B=\(\frac{BC^{\prime}}{BC}\)
=>\(BC^{\prime}=BC\cdot cosB\)
Xét ΔAC'C vuông tại C' có cosA=\(\frac{AC^{\prime}}{AC}\)
=>\(AC^{\prime}=AC\cdot cosA\)
\(S_1=S_{AB^{\prime}C^{\prime}}=\frac12\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}\cdot\sin A\)
\(=\frac12\cdot AB\cdot cosA\cdot AC\cdot cosA\cdot\sin A=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\cdot cos^2A=S_{ABC}\cdot cos^2A\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Kẻ AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA⊥BD
mà CH⊥BA
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA⊥CD
mà BH⊥CA
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm M của mỗi đường
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC tại M và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BAC}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cosBAC\)
=>\(OM=R\cdot cosBAC\)
Xét ΔAHD có
O,M lần lượt là trung điểm của AD,HD
=>OM là đường trung bình của ΔAHD
=>OM//AH và OM=1/2AH
=>\(AH=2R\cdot cosBAC\)
\(\frac{S_1}{AH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2A}{4R^2\cdot cos^2A}=\frac{S_{ABC}}{4\cdot R^2}\) (3)
\(S_2=S_{BC^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot cosABC\cdot BA\cdot cosABC\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot BA\cdot\sin ABC\cdot cos^2ABC=S_{ABC}\cdot cos^2ABC\)
Kẻ BE là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBAE vuông tại A
=>EA⊥ BA
mà CH⊥BA
nên EA//CH
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>CB⊥CE
mà AH⊥BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
AE//CH
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm N của mỗi đường
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON⊥AC tại N và ON là phân giác của góc AOC
ON là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AON}=\hat{CON}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\hat{ABC}\)
Xét ΔONA vuông tại N có cosNOA=\(\frac{ON}{OA}\)
=>\(ON=R\cdot cosABC\)
Xét ΔEBH có
O,N lần lượt là trung điểm của EB,EH
=>ON là đường trung bình của ΔEBH
=>BH=2ON
=>\(BH=2\cdot R\cdot cosABC\)
\(\frac{S_2}{BH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2ABC}{4\cdot R^2\cdot cos^2ABC}=\frac{S_{ABC}}{4R^2}\) (2)
\(S_3=S_{CA^{\prime}B^{\prime}}=\frac12\cdot CA^{\prime}\cdot CB^{\prime}\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot cosACB\cdot CB\cdot cosACB\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB\cdot cos^2ACB=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Kẻ CF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔCAF nội tiếp
CF là đường kính
...
1