Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$.

=> $A,E,F,H$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).

Vì $I$ là trung điểm của $AH$ nên:
$I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$.

Do đó: $IE = IF$.

Lại có $O$ là trung điểm của $BC$ nên: $OB = OC$.

Xét tam giác $BHC$ ta có:
$HB = HC$ (tính chất trực tâm trong tam giác nhọn).

=> $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Do đó: $OH \perp BC$.

Mà $E,F \in BC$ nên: $OE \perp IH,\quad OF \perp IH$.

=> $\widehat{IEO} = 90^\circ,\quad \widehat{IFO} = 90^\circ$.

Vậy: $\triangle IEO$ và $\triangle IFO$ đều là tam giác vuông.

A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$

Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.

$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.

Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra

$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.

B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$

Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.

Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.

Ta cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ASM. Với mục đích này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC. Do đó, SM là đường trung trực của BC.

Vì EF ⊥ BE và CF, nên EF song song với đường BC (vì BE // CF). Do đó, S nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH  ⊥ BC và BH ⊥ AC. Do đó, AH // SM và BH // SM.

Khi đó, ta suy ra được rằng tứ giác ABSH là hình chữ nhật (do có 2 cặp cạnh đối nhau là song song và bằng nhau).

Do AS là đường chéo của hình chữ nhật ABSH, nên H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM. 

Bạn nhầm đề không vậy:), s là giao điểm cả ef và bc mà suy ra được s là trung trực của bc dc hả?:) nhân tài đất Việt đây rồi !! 🤣🤣🤣🤣🤣