Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$
Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.
$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.
Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra
$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.
B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$
Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.
Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.
a)
Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên: $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.
Lại có: $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).
=> $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ (g.g).
Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
b)
Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.
=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).
c)
Gọi $I = EF \cap BC$, $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có hệ thức quen thuộc: $IE \cdot IF = IM^2 - MB^2$.
Mà $MB = \dfrac{BC}{2}$ nên: $MB^2 = \dfrac{BC^2}{4}$.
=> $IE \cdot IF = IM^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
d)
Gọi $N$ là trung điểm của $AH$.
Ta có $A,E,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ nên:
$N$ là tâm đường tròn đó.
=> $NE = NF$.
Do đó $N$ nằm trên đường trung trực của $EF$.
Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cố định.
=> $MN \perp EF$.
a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$
Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
Ta có $AD \perp BC$, $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.
Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$ và $CF \perp AB$).
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $AEF$ với các chân cao $E, F$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$ (cùng vuông với đường cao).
Suy ra $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$
Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $M$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất hình học trực tâm: tứ giác $BCEF$ nội tiếp, nên
$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.
d) Chứng minh $MN \perp EF$
Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất trực tâm và đường trung bình, đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.
Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.
Mk đi 1 hướng:
\(\Delta BEC,\Delta BFC\) vuông, có N là tđ BC \(\Rightarrow NE=NF=\frac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow\Delta NEF\) cân
Lại có: MN là đ/trung tuyến nên \(MN\perp IE\)
\(\Rightarrow IN^2=IM^2+MN^2\).Thay vào vậy ta cần CM
\(MN^2=IE^2-IC^2\)...Đến đây, suy nghĩ thử
a/\(\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC},chung\widehat{A}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEF}+\widehat{BEI}=90\\\widehat{ABC}+\widehat{FCI}=90\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{FCI}\left(1\right)\)
Từ (1) và I chung nên \(\Delta IBE\sim\Delta IFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IB}{IF}=\frac{IE}{IC}\)
\(\Rightarrow IB.IC=IE.IF\)(2)
Mà: \(IM^2-\frac{BC^2}{4}=\left(IM-\frac{BC}{2}\right)\left(IM+\frac{BC}{2}\right)=\left(IM-BM\right)\left(IM+MC\right)=IB.IC\)
Cộng với (2) có ĐPCM