Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có NHC = ABC (cùng phụ với HCB) (1)
Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC (2)
Vì D và E đối xứng nhau qua AC nên AC là trung trực DE suy ra
∆ADC = ∆AEC (c.c.c) => ADC = AEC (3)
Tương tự ta có AEK = ADK
Từ (1), (2), (3) suy ra NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180o
Suy ra AHCE là tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm)
b) Vì AHIO là hình bình hành nên OI = AH = 2OM
Gọi P là trung điểm OC ⇒ PJ là trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC.
Có OM là trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC. Suy ra
Δ O J P ~ Δ O C M ( g . g ) ⇒ O J O C = O P O M ⇒ O J . O M = O C . O P ⇒ O J .2 O M = O C .2 O P ⇒ O J . O I = O C . O C = R 2
a, BH ^ AC và CM ^ AC Þ BH//CM
Tương tự => CH//BM
=> BHCM là hình bình hành
b, Chứng minh BNHC là hình bình hành
=> NH//BC
=> AH ^ NH => A H M ^ = 90 0
Mà A B N ^ = 90 0 => Tứ giác AHBN nội tiếp
c, Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH và HE//BC => N, H, E thẳng hàng
d, A B N ^ = 90 0 => AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
AN = AM = 2R, AB = R 3 => A m B ⏜ = 120 0
S A O B = 1 2 S A B M = R 2 3 4
S A m B ⏜ = S a t A O B - S A O B = R 2 12 4 π - 3 3
=> S cần tìm = 2 S A m B ⏜ = R 2 6 4 π - 3 3
Vì BHCG là hình bình hành nên BG∥HCcap B cap G is parallel to cap H cap C𝐵𝐺∥𝐻𝐶 và CG∥HBcap C cap G is parallel to cap H cap B𝐶𝐺∥𝐻𝐵.
Do HC⟂ABcap H cap C ⟂ cap A cap B𝐻𝐶⟂𝐴𝐵 (CF là đường cao) nên BG⟂ABcap B cap G ⟂ cap A cap B𝐵𝐺⟂𝐴𝐵, suy ra ∠ABG=90∘angle cap A cap B cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺=90∘.
Do HB⟂ACcap H cap B ⟂ cap A cap C𝐻𝐵⟂𝐴𝐶 (BE là đường cao) nên CG⟂ACcap C cap G ⟂ cap A cap C𝐶𝐺⟂𝐴𝐶, suy ra ∠ACG=90∘angle cap A cap C cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐶𝐺=90∘.
Xét tứ giác ABGC có ∠ABG+∠ACG=90∘+90∘=180∘angle cap A cap B cap G plus angle cap A cap C cap G equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺+∠𝐴𝐶𝐺=90∘+90∘=180∘.
Hai góc đối này bù nhau nên tứ giác ABGC nội tiếp được trong một đường tròn. Chứng minh tứ giác ABMG nội tiếp:
Từ hình bình hành BHCG, gọi K là trung điểm BC. Ta có K cũng là trung điểm HG.
Đường thẳng đi qua G song song với BC cắt AH tại M. Do AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C𝐴𝐻⟂𝐵𝐶, suy ra MG⟂AHcap M cap G ⟂ cap A cap H𝑀𝐺⟂𝐴𝐻 hay ∠AMG=90∘angle cap A cap M cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝑀𝐺=90∘.
Do BG∥HCcap B cap G is parallel to cap H cap C𝐵𝐺∥𝐻𝐶 và HC⟂ABcap H cap C ⟂ cap A cap B𝐻𝐶⟂𝐴𝐵, suy ra BG⟂ABcap B cap G ⟂ cap A cap B𝐵𝐺⟂𝐴𝐵, hay ∠ABG=90∘angle cap A cap B cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺=90∘.
Xét tứ giác ABMG có hai đỉnh kề nhau B và M cùng nhìn cạnh AG dưới một góc vuông ( ∠ABG=∠AMG=90∘angle cap A cap B cap G equals angle cap A cap M cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝑀𝐺=90∘). Do đó tứ giác ABMG nội tiếp được trong đường tròn đường kính AG.
Bước 2: Chứng minh tam giác ABD và tam giác AGC đồng dạng Ta có ∠ADB=90∘angle cap A cap D cap B equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐷𝐵=90∘ (AD là đường cao).
Ta có ∠ACG=90∘angle cap A cap C cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐶𝐺=90∘ (đã chứng minh ở Bước 1).
Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABGC, ta có ∠ABD=∠ABGangle cap A cap B cap D equals angle cap A cap B cap G∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐺 (do D nằm trên BC, B, G, C nội tiếp) và ∠AGCangle cap A cap G cap C∠𝐴𝐺𝐶 cùng chắn cung AC.
∠ABGangle cap A cap B cap G∠𝐴𝐵𝐺 chắn cung AG, ∠ACGangle cap A cap C cap G∠𝐴𝐶𝐺 chắn cung AG (sai, ABGC nội tiếp, ∠ABCangle cap A cap B cap C∠𝐴𝐵𝐶 và ∠AGCangle cap A cap G cap C∠𝐴𝐺𝐶 không chắn cung giống nhau).
Sử dụng tính chất nội tiếp của ABGC: ∠BAC+∠BGC=180∘angle cap B cap A cap C plus angle cap B cap G cap C equals 180 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐺𝐶=180∘.
Ta có ∠ABC=∠ABDangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap B cap D∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐷.
Và ∠AGC=∠BGCangle cap A cap G cap C equals angle cap B cap G cap C∠𝐴𝐺𝐶=∠𝐵𝐺𝐶.
Góc ∠BGC=180∘−∠BAC=180∘−(∠ABD+∠DBC)angle cap B cap G cap C equals 180 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap C equals 180 raised to the composed with power minus open paren angle cap A cap B cap D plus angle cap D cap B cap C close paren∠𝐵𝐺𝐶=180∘−∠𝐵𝐴𝐶=180∘−(∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶)... cách này phức tạp. Sử dụng tính chất song song của BHCG: BG∥HCcap B cap G is parallel to cap H cap C𝐵𝐺∥𝐻𝐶.
∠GBC=∠HCBangle cap G cap B cap C equals angle cap H cap C cap B∠𝐺𝐵𝐶=∠𝐻𝐶𝐵 (so le trong).
Ta có ∠ABD=90∘−∠BAD=90∘−∠FAEangle cap A cap B cap D equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap D equals 90 raised to the composed with power minus angle cap F cap A cap E∠𝐴𝐵𝐷=90∘−∠𝐵𝐴𝐷=90∘−∠𝐹𝐴𝐸
Góc ∠AGCangle cap A cap G cap C∠𝐴𝐺𝐶: do CG∥HBcap C cap G is parallel to cap H cap B𝐶𝐺∥𝐻𝐵, ∠BCG=∠HBC=90∘−∠HCBangle cap B cap C cap G equals angle cap H cap B cap C equals 90 raised to the composed with power minus angle cap H cap C cap B∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐻𝐵𝐶=90∘−∠𝐻𝐶𝐵 (sai). Cách khác:
Tứ giác ABGC nội tiếp nên ∠ABC=∠AGCangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap G cap C∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐺𝐶 (cùng chắn cung AC) (sai, không đúng vị trí).
∠BAG=∠BCGangle cap B cap A cap G equals angle cap B cap C cap G∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐵𝐶𝐺 (cùng chắn cung BG)
∠ABG=∠ACG=90∘angle cap A cap B cap G equals angle cap A cap C cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝐶𝐺=90∘ ∠BAC+∠BGC=180∘angle cap B cap A cap C plus angle cap B cap G cap C equals 180 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐺𝐶=180∘.
∠ABC+∠AGC=180∘angle cap A cap B cap C plus angle cap A cap G cap C equals 180 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐺𝐶=180∘ (sai). Trở lại:
∠ABD=90∘−∠BADangle cap A cap B cap D equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap D∠𝐴𝐵𝐷=90∘−∠𝐵𝐴𝐷 ∠AGCangle cap A cap G cap C∠𝐴𝐺𝐶:
Ta biết BG⟂ABcap B cap G ⟂ cap A cap B𝐵𝐺⟂𝐴𝐵 và CG⟂ACcap C cap G ⟂ cap A cap C𝐶𝐺⟂𝐴𝐶.
Trong △AGCtriangle cap A cap G cap C△𝐴𝐺𝐶, ∠ACG=90∘angle cap A cap C cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐶𝐺=90∘.
∠GAC=∠BAC+∠BAGangle cap G cap A cap C equals angle cap B cap A cap C plus angle cap B cap A cap G∠𝐺𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐺.
Ta có ∠DBC=90∘−∠Cangle cap D cap B cap C equals 90 raised to the composed with power minus angle cap C∠𝐷𝐵𝐶=90∘−∠𝐶.
∠ABG=90∘angle cap A cap B cap G equals 90 raised to the composed with power∠𝐴𝐵𝐺=90∘.
Do BG∥CHcap B cap G is parallel to cap C cap H𝐵𝐺∥𝐶𝐻, ta có ∠GBC=∠HCBangle cap G cap B cap C equals angle cap H cap C cap B∠𝐺𝐵𝐶=∠𝐻𝐶𝐵.
Ta có ∠ABD=90∘−∠BAD=∠Cangle cap A cap B cap D equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap D equals angle cap C∠𝐴𝐵𝐷=90∘−∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶 (sai, ∠ABC=90∘−∠Cangle cap A cap B cap C equals 90 raised to the composed with power minus angle cap C∠𝐴𝐵𝐶=90∘−∠𝐶 chỉ khi tam giác vuông). ∠ABC=∠ABD+∠DBCangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap B cap D plus angle cap D cap B cap C∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶.
∠DBC=90∘−∠BCD=90∘−∠Cangle cap D cap B cap C e...
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
