Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình sửa lại đề: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. EF cắt BC tại F. AF cắt lại (O) tại K. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Từ gt dễ thấy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm M.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp nên theo phương tích ta có FB . FC = FD . FE.
Tứ giác AKBC nội tiếp nên theo phương tích ta có FK . FA = FB . FC.
Vậy ta có đpcm.
c) Ta có FA . FK = FE . FD nên theo phương tích đảo ta có tứ giác AKED nội tiếp.
Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AH và FH là N.
Khi đó FH . FN = FE . FD = FB . FC.
Suy ra tứ giác BHNC nội tiếp.
Ta có \(\widehat{DNC}=360^o-\widehat{DNH}-\widehat{CNH}=\left(180^o-\widehat{DNH}\right)+\left(180^o-\widehat{CNH}\right)=\widehat{DEH}+\widehat{HBC}=2\widehat{HBC}=\widehat{DMC}\).
Do đó tứ giác DNMC nội tiếp.
Tương tự tứ giác ENMB nội tiếp.
Suy ra \(\widehat{DNM}+\widehat{DNA}=180^o-\widehat{ACB}+\widehat{AED}=180^o\) nên A, N, M thẳng hàng.
Từ đó \(\widehat{MHN}=\widehat{ANH}=90^o\) nên \(FH\perp AM\).
(Câu c là trường hợp đặc biệt của định lý Brocard khi tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm M).
a: Xét (O) có
ΔABN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔABN vuông tại B
=>BN⊥BA
mà CH⊥BA
nên BN//CH
Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>CA⊥CN
mà BH⊥CA
nên BH//CN
Xét tứ giác BHCN có
BH//CN
BN//CH
Do đó: BHCN là hình bình hành
=>BC cắt HN tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HN
=>H đối xứng N qua M
b: AKBC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AKB}+\hat{ACB}=180^0\)
mà \(\hat{AKB}+\hat{FKB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)
Xét ΔFKB và ΔFCA có
\(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)
góc CFA chung
Do đó: ΔFKB~ΔFCA
=>\(\frac{FK}{FC}=\frac{FB}{FA}\)
=>\(FK\cdot FA=FB\cdot FC\) (1)
Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BED}+\hat{BCD}=180^0\)
mà \(\hat{BED}+\hat{FEB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)
Xét ΔFEB và ΔFCD có
\(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)
góc EFB chung
Do đó: ΔFEB~ΔFCD
=>\(\frac{FE}{FC}=\frac{FB}{FD}\)
=>\(FE\cdot FD=FB\cdot FC\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(FK\cdot FA=FE\cdot FD\)