Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Nên AM, BN, CP lần lượt là đường trung tuyến của BC, CA, AB.
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
a)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\)
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AN})\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (do các cặp tổng đều là vecto đối nhau)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\)
(đpcm)
b) Theo phần a:
\(\overrightarrow{AM}=-(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=-\overrightarrow{BN}+(-\overrightarrow{CP})\)
\(=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\) (đpcm)
\(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Xét (I) có
BP,BM là các tiếp tuyến
Do đó: BP=BM=p-b
Xét (I) có
AP,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AP=AN=p-a
Xét (I) có
CM,CN là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CN=p-c
\(\vec{IM} = \frac{MC \cdot \vec{IB} + BM \cdot \vec{IC}}{BC} = \frac{(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}}{a}\)
\(\Rightarrow a\vec{IM} = (p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC} \quad (1)\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(b\vec{IN} = (p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA} \quad (2)\)
và \(c\vec{IP} = (p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB} \quad (3)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra:
\(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = \left[(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}\right] + \left[(p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA}\right] + \left[(p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB}\right]\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IA}\) là:
\((p - c) + (p - b) = 2p - b - c = (a + b + c) - b - c = a\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IB}\) là:
\((p - c) + (p - a) = 2p - a - c = (a + b + c) - a - c = b\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IC}\) là:
\((p - b) + (p - a) = 2p - a - b = (a + b + c) - a - b = c\)
Do đó: \(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC}\)
\(=\overrightarrow{0}\)
