A D E B C

S_ADE = S_DEBC (gt) =>\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\)

\(\Delta ADE,\Delta ABE\)có chung đường cao hạ từ E nên\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABE}}=\frac{AD}{AB}\)

\(\Delta ABE,\Delta ABC\)có chung đường cao hạ từ B nên\(\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ADE}}{S_{ABE}}.\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AB}.\frac{AE}{AC}\).

\(\Delta ABC\)có DE // BC nên\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(định lí Ta-let).Suy ra\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Đặt S A B C   =   S .  Vì DE//AC nên Δ BED ∼ Δ BAC

Lại có DF//AB nên Δ CDF ∼ Δ CBA

Cộng theo vế của đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

Vậy diện tích của tam giác ABC là  81 c m 2

Áp dụng định lý Ta-lét:

Với EF // CD ta có  A F A D = A E A C

Với DE // BC ta có  A E A C = A D A B

Suy ra A F A D = A D A B  , tức là A F . A B   =   A D 2

Vậy 9.16 = A D 2 ó   A D 2 = 144 ó AD = 12

Đáp án: C

Ta có \(DE\parallel BC\Rightarrow\triangle ADE\approx\triangle ABC\Rightarrow\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\). Lại có \(EF\parallel CD\Rightarrow\triangle AFE\approx\triangle ADC\Rightarrow\frac{A F}{A D}=\frac{A E}{A C}\). Suy ra \(\frac{A F}{A D} = \frac{A D}{A B}\). Thay số: \(\frac{9}{A D} = \frac{A D}{16} \Rightarrow A D^{2} = 144 \Rightarrow A D = 12 \textrm{ } \text{cm}\).

Xét ΔADC có FE//DC

nên \(\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}\) (1)

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}\)

=>\(AF\cdot AB=AD^2\)

=>\(AD^2=9\cdot16=144=12^2\)

=>AD=12(cm)

Về bài hóa, bạn lên h.vn để hỏi nhé.

Mình làm 2 bài toán.

Bài 2 :

A B C D

DE // AC \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{BC}\)( Định lý Ta-lét)

DF//AB \(\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{CD}\)(Định lý Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

Vậy ....

Xét ΔBED và ΔBAC có

\(\hat{BED}=\hat{BAC}\) (hai góc đồng vị, DE//AC)

\(\hat{EBD}\) chung

Do đó: ΔBED~ΔBAC

=>\(\frac{S_{BED}}{S_{BAC}}=\left(\frac{BD}{BC}\right)^2\)

=>\(\left(\frac{BD}{BC}\right)^2=\frac{16}{S_{ABC}}\)

=>\(\frac{BD}{BC}=\frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}}\)

Xét ΔCDF và ΔCBA có

\(\hat{CDF}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị, DF//AC)

\(\hat{DCF}\) chung

Do đó: ΔCDF~ΔCBA

=>\(\frac{S_{CDF}}{S_{CBA}}=\left(\frac{CD}{CB}\right)^2\)

=>\(\frac{CD}{CB}=\sqrt{\frac{S_{DFC}}{S_{BAC}}}=\frac{5}{\sqrt{S_{ABC}}}\)

Ta có: \(\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{BC}=\frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}}+\frac{5}{\sqrt{S_{ABC}}}\)

=>\(\frac{9}{\sqrt{S_{ABC}}}=1\)

=>\(\sqrt{S_{ABC}}=9\)

=>\(S_{ABC}=81\left(\operatorname{cm}^2\right)\)