A B C N M G P

a: TA có: E là trung điểm của AC

=>\(AE=EC=\frac{AC}{2}\)

=>\(S_{BEA}=\frac12\times S_{BAC}\) (1)

Ta có: D là trung điểm của BC

=>\(BD=CD=\frac{BC}{2}\)

=>\(S_{ABD}=\frac12\times S_{ABC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{BDA}=S_{BEA}\)

=>\(S_{BDI}+S_{AIB}=S_{AIE}+S_{BIA}\)

=>\(S_{AIE}=S_{BID}\)

b: Ta có: DB=DC

=>\(S_{ADB}=S_{ADC};S_{IDB}=S_{IDC}\)

=>\(S_{ADB}-S_{IDB}=S_{ADC}-S_{IDC}\)

=>\(S_{AIB}=S_{AIC}\) (3)

Ta có: EA=EC

=>\(S_{BEA}=S_{BEC};S_{IEA}=S_{IEC}\)

=>\(S_{BEA}-S_{IEA}=S_{BEC}-S_{IEC}\)

=>\(S_{BIA}=S_{BIC}\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(S_{CIA}=S_{CIB}\)

K nằm giữa A và B

=>\(\frac{S_{CKA}}{S_{CKB}}=\frac{KA}{KB};\frac{S_{IKA}}{S_{IKB}}=\frac{KA}{KB}\)

=>\(\frac{S_{CKA}-S_{IKA}}{S_{CKB}-S_{IKB}}=\frac{KA}{KB}\)

=>\(\frac{KA}{KB}=\frac{S_{CIA}}{S_{CIB}}=1\)

=>KA=KB

Hai tg ABN và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{ABN}=\frac{S_{ABC}}{2}\)

Hai tg ACM và tg ABC có chung đường cao từ C->AB nên

\(\frac{S_{ACM}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{ACM}=\frac{S_{ABC}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABN}=S_{ACM}\) Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{AMON}\Rightarrow S_{BOM}=S_{CON}\)

Hai tg AOM và tg BOM có chung đường cao từ O->AB và AM=BM \(\Rightarrow S_{AOM}=S_{BOM}\)

Hai tg AON và tg CON có chung đường cao từ O->AC và AN=CN \(\Rightarrow S_{AON}=S_{CON}\)

\(\Rightarrow S_{AOM}+S_{BOM}=S_{AON}+S_{CON}\Rightarrow S_{ABO}=S_{ACO}\)

Hai tg ABO và tg ACO có chung AO nên

\(\frac{S_{ABO}}{S_{ACO}}=\)đường cao từ B->AO / đường cao từ C->AO = 1

Hai tg ABK và tg ACK có chung AK nên

\(\frac{S_{ABK}}{S_{ACK}}=\)đường cao từ B->AO / đường cao từ C->AO = 1 

Hai tg ABK và tg ACK lại có chung đường cao từ A->BC nên

\(\frac{S_{ABK}}{S_{ACK}}=\frac{BK}{CK}=1\Rightarrow BK=CK\)

Khó quớ ~