Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B M C D H H
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC\(\frac{\Rightarrow AG}{AM}=\frac{2}{3}\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}BM=CM\\\widehat{BHM}=\widehat{CKM}=90^0\\\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\end{cases}\Rightarrow\Delta BHM=\Delta CKM\left(\text{ cạnh huyền - góc nhọn}\right)}\)
Vì vậy \(HM=KM\) nên AM là trung tuyến của \(\Delta AHK\) mà \(\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác AHK
A B C H M O E I G K
a/
O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có
\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BE\perp AB\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)
=> BE//CH (1)
Ta có
\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CE\perp AC\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
=> CE//BH (2)
Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME
Xét tg AHE có
MH=ME (cmt)
OA=OE
=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)
b/
Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)
\(AH\perp BC\)
=> OM//AH
Xét tg AGH có
IA=IG (gt)
KH=KG (gt)
=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)
=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)
IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)
G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)
=> IG=GM (6)
Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)
c/
Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE
MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE
OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE
=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)
Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)
\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng
d/
Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO
a: Trên tia đối của tia OA, lấy E sao cho OA=OE
=>O là trung điểm của AE
Ta có: O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC
=>OA=OB=OC
mà OA=OE
nên OB=OC=OA=OE
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là giao điểm của AG và BC
Do đó: M là trung điểm của BC
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC
H là trực tâm của ΔABC nên HA⊥BC
mà OM⊥BC
nên OM//AH
b: Xét ΔABC có
G là trọng tâm
AM là đường trung tuyến
Do đó: AG=2GM
mà \(AG=2AI=2IG\) (I là trung điểm của AG)
nên AI=IG=GM
Trên tia đối của tia IK, lấy F sao cho IF=IK
Xét ΔIFA và ΔIKG có
IA=IG
\(\hat{FIA}=\hat{KIG}\) (hai góc đối đỉnh)
IA=IG
Do đó: ΔIFA=ΔIKG
=>FA=KG
mà KG=KH
nên FA=KH
ΔIFA=ΔIKG
=>\(\hat{IFA}=\hat{IKG}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FA//GK
=>FA//KH
Xét ΔKFH và ΔAHF có
KH=FA
\(\hat{KHF}=\hat{AFH}\) (hai góc so le trong, AF//KH)
HF chung
DO đó: ΔKFH=ΔAHF
=>KF=AH
mà \(KI=IF=\frac{KF}{2}\)
nên \(KI=IF=\frac{AH}{2}\)
IK//AH
OM//AH
Do đó: IK//OM
Xét ΔCAE có
CO là đường trung tuyến
BO=AE/2
Do đó: ΔCAE vuông tại C
=>CA⊥CE
mà BH⊥CA
nên BH//CE
Xét ΔBAE có
BO là đường trung tuyến
BO=AE/2
Do đó: ΔBAE vuông tại B
=>BA⊥BE
mà CH⊥BA
nên CH//BE
Xét ΔBHC và ΔCEB có
\(\hat{CBH}=\hat{ECB}\) (hai góc so le trong, BH//CE)
BC chung
\(\hat{HCB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, HC//BE)
Do đó: ΔBHC=ΔCEB
=>BH=CE và CH=EB
Xét ΔMHB và ΔMEC có
MB=MC
\(\hat{MBH}=\hat{MCE}\)
BH=CE
Do đó: ΔMBH=ΔMCE
=>\(\hat{BMH}=\hat{CME}\)
mà \(\hat{BMH}+\hat{HMC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{HMC}+\hat{CME}=180^0\)
=>H,M,E thẳng hàng
ΔMBH=ΔMCE
=>MH=ME
=>M là trung điểm của HE
Xét ΔHAE có O,M lần lượt là trung điểm của EA,EH
=>OM là đường trung bình của ΔHAE
=>\(OM=\frac12AH\)
=>OM=IK
Xét ΔGKI và ΔGOM có
IG=GM
\(\hat{GIK}=\hat{GMO}\) (hai góc so le trong, KI//OM)
IK=OM
Do đó: ΔGKI=ΔGOM
c: ΔGKI=ΔGOM
=>\(\hat{KGI}=\hat{OGM}\)
mà \(\hat{KGI}+\hat{KGM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{KGM}+\hat{OGM}=180^0\)
=>K,G,O thẳng hàng
mà H,K,G thẳng hàng
nên H,K,G,O thẳng hàng
=>H,G,O thẳng hàng
d: Xét ΔAHE có
HO,AM là các đường trung tuyến
HO cắt AM tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHE
=>GH=2GO
a: Gọi G là trọng tâm của ΔABC, Gọi M là giao điểm của AG và BC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là giao điểm của AG và BC
Do đó: M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
AM là đường trung tuyến
Do đó; \(AG=\frac23AM\)
Ta có: MB+BE=ME
MC+CF=MF
mà MB=MC và BE=CF
nên ME=MF
=>M là trung điểm của EF
Xét ΔAEF có
AM là đường trung tuyến
\(AG=\frac23AM\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔAEF
b: Xét ΔAEF có
G là trọng tâm
N là giao điểm của EG và AF
Do đó: N là trung điểm của AF
Xét ΔGAE có
H,I lần lượt là trung điểm của GA,GE
=>HI là đường trung bình của ΔGAE
=>HI//AE và \(HI=\frac{AE}{2}\)
Xét ΔFAE có
M,N lần lượt là trung điểm của FE,FA
=>MN là đường trung bình của ΔFAE
=>MN//AE và \(MN=\frac{AE}{2}\)
Ta có: HI//AE
MN//AE
Do đó: HI//MN
Ta có: \(HI=\frac{AE}{2}\)
\(MN=\frac{AE}{2}\)
Do đó: HI=MN
a) Ta có :
OD//HB,OE//HC,DE//BC.
ODE^=HBC^ và OED^=HCB^ (hai góc nhọn có các cạnh tương ứng vuông góc ).
ODE^∼HBC^(c.g.c)
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên GDGB=12
Mặt khác DOBH=DEBC=12 , do đó DGBG=DOBH=12, lại có ODG^=GBH^ ( hai góc so le trong ).
Vậy △ODG∼△HBG(c.g.c)
c) △ODG∼△HBG ( theo câu b ) , nên OGD^=BGH^, BGH^+HGD^=1800 ,nên OGD^+DGH^=1800, suy ra ba điểm O, G, H thẳng hàng,đồng thời có:
OGGH=ODBH=12 , do đó GH=2OG.
Chú ý:Đường thẳng đi qua ba điểm H, G, O nói trên gọi là đường thẳng Ơle.