A B M C D H H

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC\(\frac{\Rightarrow AG}{AM}=\frac{2}{3}\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}BM=CM\\\widehat{BHM}=\widehat{CKM}=90^0\\\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\end{cases}\Rightarrow\Delta BHM=\Delta CKM\left(\text{ cạnh huyền - góc nhọn}\right)}\)

Vì vậy \(HM=KM\) nên AM là trung tuyến của \(\Delta AHK\) mà \(\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác AHK

khó chìun

A B C H M O E I G K

a/

O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có

\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BE\perp AB\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)

=> BE//CH (1)

Ta có

\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CE\perp AC\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)

=> CE//BH (2)

Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME

Xét tg AHE có

MH=ME (cmt)

OA=OE

=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\) 

b/ 

Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)

\(AH\perp BC\)

=> OM//AH 

Xét tg AGH có

IA=IG (gt)

KH=KG (gt)

=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)

=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)

IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)

G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)

=> IG=GM (6)

Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)

c/

Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE

MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE

OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE

=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)

Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng

d/

Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO

a: Trên tia đối của tia OA, lấy E sao cho OA=OE

=>O là trung điểm của AE
Ta có: O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC

=>OA=OB=OC

mà OA=OE

nên OB=OC=OA=OE

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là giao điểm của AG và BC

Do đó: M là trung điểm của BC

ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥BC

H là trực tâm của ΔABC nên HA⊥BC

mà OM⊥BC

nên OM//AH

b: Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AM là đường trung tuyến

Do đó: AG=2GM

mà \(AG=2AI=2IG\) (I là trung điểm của AG)

nên AI=IG=GM

Trên tia đối của tia IK, lấy F sao cho IF=IK

Xét ΔIFA và ΔIKG có

IA=IG

\(\hat{FIA}=\hat{KIG}\) (hai góc đối đỉnh)

IA=IG

Do đó: ΔIFA=ΔIKG

=>FA=KG

mà KG=KH

nên FA=KH

ΔIFA=ΔIKG

=>\(\hat{IFA}=\hat{IKG}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên FA//GK

=>FA//KH

Xét ΔKFH và ΔAHF có

KH=FA

\(\hat{KHF}=\hat{AFH}\) (hai góc so le trong, AF//KH)

HF chung

DO đó: ΔKFH=ΔAHF

=>KF=AH

mà \(KI=IF=\frac{KF}{2}\)

nên \(KI=IF=\frac{AH}{2}\)

IK//AH

OM//AH

Do đó: IK//OM

Xét ΔCAE có

CO là đường trung tuyến

BO=AE/2

Do đó: ΔCAE vuông tại C

=>CA⊥CE
mà BH⊥CA

nên BH//CE
Xét ΔBAE có

BO là đường trung tuyến

BO=AE/2

Do đó: ΔBAE vuông tại B

=>BA⊥BE

mà CH⊥BA

nên CH//BE

Xét ΔBHC và ΔCEB có

\(\hat{CBH}=\hat{ECB}\) (hai góc so le trong, BH//CE)

BC chung

\(\hat{HCB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, HC//BE)

Do đó: ΔBHC=ΔCEB

=>BH=CE và CH=EB

Xét ΔMHB và ΔMEC có

MB=MC

\(\hat{MBH}=\hat{MCE}\)

BH=CE

Do đó: ΔMBH=ΔMCE

=>\(\hat{BMH}=\hat{CME}\)

mà \(\hat{BMH}+\hat{HMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{HMC}+\hat{CME}=180^0\)

=>H,M,E thẳng hàng

ΔMBH=ΔMCE
=>MH=ME

=>M là trung điểm của HE

Xét ΔHAE có O,M lần lượt là trung điểm của EA,EH

=>OM là đường trung bình của ΔHAE
=>\(OM=\frac12AH\)

=>OM=IK

Xét ΔGKI và ΔGOM có

IG=GM

\(\hat{GIK}=\hat{GMO}\) (hai góc so le trong, KI//OM)

IK=OM

Do đó: ΔGKI=ΔGOM

c: ΔGKI=ΔGOM

=>\(\hat{KGI}=\hat{OGM}\)
mà \(\hat{KGI}+\hat{KGM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KGM}+\hat{OGM}=180^0\)

=>K,G,O thẳng hàng

mà H,K,G thẳng hàng

nên H,K,G,O thẳng hàng

=>H,G,O thẳng hàng

d: Xét ΔAHE có

HO,AM là các đường trung tuyến

HO cắt AM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHE

=>GH=2GO

a: Gọi G là trọng tâm của ΔABC, Gọi M là giao điểm của AG và BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là giao điểm của AG và BC

Do đó: M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AM là đường trung tuyến

Do đó; \(AG=\frac23AM\)

Ta có: MB+BE=ME

MC+CF=MF

mà MB=MC và BE=CF

nên ME=MF

=>M là trung điểm của EF

Xét ΔAEF có

AM là đường trung tuyến

\(AG=\frac23AM\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔAEF

b: Xét ΔAEF có

G là trọng tâm

N là giao điểm của EG và AF

Do đó: N là trung điểm của AF

Xét ΔGAE có

H,I lần lượt là trung điểm của GA,GE

=>HI là đường trung bình của ΔGAE

=>HI//AE và \(HI=\frac{AE}{2}\)

Xét ΔFAE có

M,N lần lượt là trung điểm của FE,FA

=>MN là đường trung bình của ΔFAE

=>MN//AE và \(MN=\frac{AE}{2}\)

Ta có: HI//AE
MN//AE

Do đó: HI//MN

Ta có: \(HI=\frac{AE}{2}\)

\(MN=\frac{AE}{2}\)

Do đó: HI=MN

a: BM+BE=ME

MC+CF=MF

mà BM=MC và BE=CF

nên ME=MF

Xét ΔAEF có

AM là trung tuyến

AG=2/3AM

=>G là trọng tâm

b: Xét ΔAEF có

EN là trung tuyến

G là trọng tâm

=>E,G,N thẳng hàng

c: Xét ΔGAE có GH/GA=GI/GE

nên IH//AE và IH=1/2AE
=>IH//MN và IH=MN