S(ABC)=48 c m 2

nối N xuống B ta có hình AMB có diện tích = 1/3 diện tích ABC ( AN= 1/3 AC, chiều cao từ đỉnh B xuống đáy AC.ANM = 2/3 ANB

Nối M với C ta có BMC =1/3 ABC. BMC = ANM

MBQ=1/2 BMC

NCB=2/3 ABC

NQC= 1/2 NCB

ANM = 180: 3 : 3X2 =40 ( cm2)

MBQ = 180 : 3 : 2 = 30 ( cm2 )

NQC = 180 : 3 = 60 ( cm2 )

MNQ= 180 - 40 - 30 - 60 = 50 ( cm2 )

               Đ/ S : 50 cm2

( vì không có thời gian nên mình chưa chứng minh phần trên )

Bạn tham khảo

      https://olm.vn/hoi-dap/detail/3905646607.html

#NHTP

Sưa đề: \(AN=\frac23AB;BM=\frac23BC\)

Ta có: AN+NB=AB

=>\(NB=AB-\frac23AB=\frac13AB\)

=>\(AN=2\times NB\)

=>\(S_{CNA}=2\times S_{CNB};S_{ONA}=2\times S_{ONB}\)

=>\(S_{CNA}-S_{ONA}=2\times\left(S_{CNB}-S_{ONB}\right)\)

=>\(S_{COA}=2\times S_{COB}\)

Ta có; BM+MC=BC

=>\(MC=BC-BM=BC-\frac23BC=\frac13BC\)

=>\(BM=2\times MC\)

=>\(S_{AMB}=2\times S_{AMC};S_{OMB}=2\times S_{OMC}\)

=>\(S_{AMB}-S_{OMB}=2\times\left(S_{AMC}-S_{OMC}\right)\)

=>\(S_{AOB}=2\times S_{AOC}\)

=>\(S_{AOB}=4\times S_{COB}\)

Ta có: \(AN=\frac23\times AB\)

=>\(S_{OAN}=\frac23\times S_{OAB}\)

=>\(S_{OAB}=8:\frac23=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{COB}=\frac{12}{4}=3\left(\operatorname{cm}^2\right)\) ; \(S_{COA}=2\times S_{COB}=2\times3=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vì \(BN=\frac13\times BA\)

nên \(S_{BNO}=\frac13\times S_{BOA}=\frac13\times12=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vì \(BM=\frac23\times BC\)

nên \(S_{BMO}=\frac23\times S_{BOC}=\frac23\times3=2\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S_{BMON}=S_{BNO}+S_{BMO}\)

\(=4+2=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

+ Xét tam giác AMC với tam giác ABC ta có : 

 -  Đáy AM = 2/3 AB

- Chung đường cao hạ từ đỉnh C 

=> Diện tích tam giác AMC = 2/3 diện tích tam giác ABC

=> Diện tích tam giác AMC là : 54 x 2/3 = 36 cm²

+ Xét tam giác AMC với tam giác AMN ta có:

- Đáy MN = 1/2 = MC

- Chung đường cao hạ từ đỉnh A

=> Diện tích tam giác AMN = 1/2 AMC

=> Diện tích tam giác AMN là 36 x 1/2 = 18 (m²) (1)

+ Xét tam giác BMC với tam giác ABC ta có : 

- Đáy MB = 1/3 đáy AB

- Chung chiều cao hạ từ đỉnh C

=> Diện tích tam giác BMC = 1/3 Diện tích tam giác ABC

=> Diện tích tam giác BMC là : 54 x 1/3 = 18 (cm²) 

+ Xét tam giác BMC với tam giác BMN ta có :

- Đáy MN = 1/2 Đáy MC

- Chung đường cao hạ từ đỉnh B

=> Diện tích tam giác BMN = 1/2 Diện tích tam giác BMC

=> Diện tích tam giác BMN là : 18 x 1/2 = 9 (cm²) (2)

Từ (1) và (2) ta có : S_ANB = S_AMN + S_BMN 

                                          = 18 + 9

                                          = 27 cm²

=> Vậy diện tích tam giác ANB là 27 cm² 

Nối A với I :

Ta có : S ( AMI ) = 1/2 S ( BMI ) ( vì đáy AM = 1/2 đáy BM ; chung chiều cao hạ từ I xuống AB )

S ( ANI ) = 1/2 S ( CNI )

Mà S ( CNI ) = S ( BMI ) nên S ( AMI ) = S ( ANI ) = 90 : 2 = 45 cm²

\(\Rightarrow\) S ( AIB ) = 3 x S ( AMI ) = 3 x 45 = 135 cm²

\(\Rightarrow\) S ( ABN ) = S ( AIB ) + S ( AIN ) = 135 + 45 = 180 cm²

\(\Rightarrow\) S ( ABC ) = 3 x S ( ABN ) = 3 x 180 = 540 cm²