a: HM là đường trung bình của ΔEBC

=>EH=HB

KM là đường trug bình của ΔFBC

=>FK=KC

ΔAHM có EO//HM

=>AE/AH=AO/AM

ΔAKM có KM//FO

nên AF/AK=AO/AM

=>AE/AH=AF/AK

=>EF//HK

b: ΔAHM có EO//HM

=>MA/MO=HA/HE

=>MA/MO=HA/HB

ΔAKM có FO//KM

=>MA/MO=KA/KF=KA/KC

=>HA/HB=KA/KC

=>HK//BC

=>EF//BC

1.

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.

Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.

Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.

Do đó: $AF\parallel NP$.

Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.

Suy ra: $PN=NF$.

Vậy trong tứ giác $AFPN$:

$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.

Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.

Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.

Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.

Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).

Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.

Suy ra: CNFP là hình bình hành.

Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.

Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.

Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.

Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.

Suy ra NIBJ là hình bình hành.

2.

a) Ta có:

$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.

Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.

Suy ra tứ giác $AGBI$ có:

$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.

Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.

Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.

b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:

$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),

$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.

Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.

Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.

Mà trong tam giác vuông $ABK$:

$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.

Suy ra: $BG=AC$.

Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.

c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:

$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.

Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.

Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.

Hay: $AG=BC$.

Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.

Xét ΔCBE có AM//BE

nên \(\dfrac{AM}{BE}=\dfrac{CM}{CB}\)

Xét ΔBDC có AM//DC

nên \(\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{BM}{BC}\)

\(\dfrac{AM}{BE}+\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{BM}{BC}+\dfrac{CM}{BC}\)

=>\(AM\left(\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{DC}\right)=\dfrac{BC}{BC}=1\)

=>\(\dfrac{1}{AM}=\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CD}\)