1.

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.

Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.

Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.

Do đó: $AF\parallel NP$.

Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.

Suy ra: $PN=NF$.

Vậy trong tứ giác $AFPN$:

$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.

Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.

Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.

Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.

Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).

Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.

Suy ra: CNFP là hình bình hành.

Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.

Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.

Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.

Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.

Suy ra NIBJ là hình bình hành.

2.

a) Ta có:

$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.

Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.

Suy ra tứ giác $AGBI$ có:

$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.

Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.

Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.

b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:

$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),

$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.

Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.

Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.

Mà trong tam giác vuông $ABK$:

$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.

Suy ra: $BG=AC$.

Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.

c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:

$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.

Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.

Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.

Hay: $AG=BC$.

Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.

a) xét tam giác ABC có:

 P là trung điểm của AB (đường trung tuyến CP)

N là trung điểm của AC (đường trung tuyến BN)

=> PN là đường trung bình của tam giác ABC (đ/n đường trung bình)

=> PN // BC (t/c đường trung bình) 

=> PN //CF

xét tứ giác CPNF có:

NE //PC (gt) 

PN //CF (cmt)

=> CPNF là hình bình hành

b) vì NE //PC (gt) 

        BD //PC (gt)

=> NF // BD

xét tứ giác BDFN có: 

NF // BD (cmt)

BN // DF (gt)

=> BDFN là HBH (dấu hiệu nhận biết)

c) vì tứ giác CPNF là HBH (câu a)

=> NF //CP ; NF = CP (t/c HBH)     (1)

vì tứ giác BDFN là HBH (câu b)

=> NF // BD ; NF = BD (t/c HBH)    (2)

từ (1) và (2) => BD // PC ; BD = PC

=> tứ giác PCDB là HBH (dấu hiệu nhận biết)

Mà M là trung điểm của đường chéo BC

=> M là trung điểm của đường chéo PD

=> P,M,D thẳng hàng

xét tam giác ABC có: 

P là trung điểm của AB (đường trung tuyến CP)

M là trung điểm của BC (đường trung tuyến AM)

=> PM là đường trung bình của tam giác ABC (đ/n đường trung bình)

=> PM //AC (t/c đường trung bình)

=> PD // NC 

=> tứ giác PNCD là hình thang

d) vì AC // PM (cmt) => AN // MD

Vì PM là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

=> PM = 1/2 AC (t/c đường trung bình)

mà AN =1/2 AC (N là trung điểm của AC)

=> PM = AN

mà PM = MD ( M là trung điểm của PD) => AN = MD

vì PM // AC (cmt) => MD // AN 

xét tứ giác ANDM có: 

AN = MD (cmt)

AN //MD (cmt) 

=> tứ giác ANDM là HBH 

=> AM = DN (t/c HBH)

a: Xét ΔMOB và ΔMFC có

\(\hat{MOB}=\hat{MFC}\) (hai góc so le trong, OB//FC)

\(\hat{OMB}=\hat{FMC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó;ΔMOB~ΔMFC

Xét ΔPAE và ΔPBO có

\(\hat{PAE}=\hat{PBO}\) (hai góc so le trong, AE//BO)

\(\hat{APE}=\hat{BPO}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔPAE~ΔPBO

a: Xét ΔABC có

P là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: PN//CF

Xét tứ giác CPNF có 

CP//NF

CF//NP

Do đó: CPNF là hình bình hành