BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA

                                                                                       Giải 

                                    Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:

   a)                      Ta có S_{tam giác BMC}+S_{tam giác CMA}+S_{tam giác AMB} =S​_{tam giác ABC}                    

                   <=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah  <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah      

              <=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

   b)                    x²+y²\(\ge\)2xy ; y²+z²\(\ge\)2yz ;  z²+x²\(\ge\)2zx

             =>2.(x²+y²+z²)  \(\ge\)2xy+2xz+2yz

             =>3.(x²+y²+z²)   \(\ge\)x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz

            =>x²+y²+z²     \(\ge\)(x+y+z)²/3=h²/3  không đổi

                     Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

           Vậy để x² + y² + z² đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC

\(a.\)Ta có:    \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
                      \(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
                      \(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
   mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm

Câu c có khá nhiều cách giải,nhưng mình trình bày 1 cách thôi nhá :)

Câu c là lấy H đối xừng với B qua M,Kẻ đường thẳng song song với AE vắt EM,AF lần lượt tại V và W ạ

Cách 1: MI//DF

BD⊥FD

Do đó: MI⊥BD

Ta có: MI//DF
=>\(\hat{IMB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{EBM}=\hat{IMB}\)

Xét ΔEBM vuông tại E và ΔIMB vuông tại I có

MB chung

\(\hat{EBM}=\hat{IMB}\)

Do đó: ΔEBM=ΔIMB

=>BI=EM; EB=MI

Xét tứ giác IDFM có

ID//MF

IM//DF

Do đó: IDFM là hình bình hành

=>MF=ID

MF+ME=IB+ID=BD ko đổi

Cách 2:

Ta có: BD⊥AC
MF⊥AC

Do đó: BD//MF

=>ID//MF

Xét tứ giác IDFM có

ID//FM

ID=MF

Do đó: IDFM là hình bình hành

=>IM//DF
mà DF⊥BD

nên IM⊥BD tại I

Xét ΔEBM vuông tại E và ΔIMB vuông tại I có

MB chung

\(\hat{EBM}=\hat{IMB}\left(=\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔEBM=ΔIMB

=>EM=BI

EM+MF

=BI+ID

=BD không đổi

BD⊥FD

Do đó: MI⊥BD

Ta có: MI//DF
=>\(\hat{I M B} = \hat{A C B}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{A B C} = \hat{A C B}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{E B M} = \hat{I M B}\)

Xét ΔEBM vuông tại E và ΔIMB vuông tại I có

MB chung

\(\hat{E B M} = \hat{I M B}\)

Do đó: ΔEBM=ΔIMB

=>BI=EM; EB=MI

Xét tứ giác IDFM có

ID//MF

IM//DF

Do đó: IDFM là hình bình hành

=>MF=ID

MF+ME=IB+ID=BD không đổi.

CHÚC BẠN HỌC TỐT!!! ^^

dạ xin lỗi ạ Tam giác ABC đều ạ