Ta thấy: DE song song với BC, N nằm trên DE => ND, NE đều song song với BC.

Áp dụng định lý Thales vào tam giác ABM và AMC, có NB và NC lần lượt song song với MB, MC nên:

\(\hept{\begin{cases}\frac{AN}{AM}=\frac{ND}{MB}\\\frac{AN}{AM}=\frac{NE}{MC}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{ND}{MB}=\frac{NE}{MC}\Leftrightarrow\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)

(đpcm)

Gọi O là giao điểm của CD và BE

DE//BC

=>\(\hat{ADE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{AED}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ADE}=\hat{AED}\)

=>AD=AE

AD+DB=AB

AE+EC=AC

mà AD=AE và AB=AC

nên DB=EC

Xét ΔDBC và ΔECB có

DB=EC
\(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB

=>\(\hat{DCB}=\hat{EBC}\)

=>\(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)

=>OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,O,M thẳng hàng

=>AM,BE,CD đồng quy

Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

E là trung điểm của DB

Do đó: ME là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: ME//DC 

Xét ΔAME có 

D là trung điểm của AE

DI//EM

Do đó: I là trung điểm của AM

hay AI=IM

Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

E là trung điểm của DB

Do đó: ME là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: ME//DC 

Xét ΔAME có 

D là trung điểm của AE

DI//EM

Do đó: I là trung điểm của AM

hay AI=IM

Sửa đề:

AD = DE = EC. BD cắt AM tại I

GIẢI

a) Sửa đề: Chứng mình BDEM là hình thang

Do DE = EC (gt)

⇒ E là trung điểm DC

Mà M là trung điểm BC (gt)

⇒ ME là đường trung bình của ∆BCD

⇒ ME // BD

Tứ giác BDEM có:

ME // BD (cmt)

⇒ BDEM là hình thang

b) Do AD = DE (gt)

⇒ D là trung điểm của AE

Do BD // ME (cmt)

⇒ BI // ME

Mà D là trung điểm của AE (cmt)

⇒ I là trung điểm của AM

⇒ IA = IM

Thiếu dữ kiện í :)

vì DE // BC
=> DN // BM
VÀ EN // MC
=> DN/BM = EN/CM = AN/AM
=> DN = CN