a: Kẻ IH⊥BC tại H, IM⊥AB tại M, IN⊥AC tại N

Xét ΔAMI vuông tại M và ΔAHI vuông tại H có

AI chung

\(\hat{MAI}=\hat{HAI}\)

Do đó; ΔAMI=ΔAHI

=>IM=IH(1)

Xét ΔCHI vuông tại H và ΔCNI vuông tại N có

CI chung

\(\hat{HCI}=\hat{NCI}\)

Do đó: ΔCHI=ΔCNI

=>IH=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra IM=IN

Xét ΔBMI vuông tạiM và ΔBNI vuông tại N có

BI chung

IM=IN

Do đó: ΔBMI=ΔBNI

=>\(\hat{MBI}=\hat{NBI}\)

=>BI là phân giác của góc MBN

=>BI là phân giác của góc ABC

c: AI là phân giác ngoài tại đỉnh A của ΔABC

=>\(\hat{IAC}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}\)

CI là phân giác ngoài tại đỉnh C của ΔABC

=>\(\hat{ICA}=\frac{180^0-\hat{BCA}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{ACB}\)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ACB}+\hat{ABC}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=180^0-50^0=130^0\)

\(\hat{IAC}+\hat{ICA}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}+90^0-\frac12\cdot\hat{BCA}\)

\(=180^0-\frac12\cdot130^0=180^0-65^0=115^0\)

Xét ΔIAC có \(\hat{IAC}+\hat{ICA}+\hat{AIC}=180^0\)

=>\(\hat{AIC}=180^0-115^0=65^0\)

a: Kẻ IH⊥BC tại H, IM⊥AB tại M, IN⊥AC tại N

Xét ΔAMI vuông tại M và ΔAHI vuông tại H có

AI chung

\(\hat{MAI}=\hat{HAI}\)

Do đó; ΔAMI=ΔAHI

=>IM=IH(1)

Xét ΔCHI vuông tại H và ΔCNI vuông tại N có

CI chung

\(\hat{HCI}=\hat{NCI}\)

Do đó: ΔCHI=ΔCNI

=>IH=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra IM=IN

Xét ΔBMI vuông tạiM và ΔBNI vuông tại N có

BI chung

IM=IN

Do đó: ΔBMI=ΔBNI

=>\(\hat{MBI}=\hat{NBI}\)

=>BI là phân giác của góc MBN

=>BI là phân giác của góc ABC

c: AI là phân giác ngoài tại đỉnh A của ΔABC

=>\(\hat{IAC}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}\)

CI là phân giác ngoài tại đỉnh C của ΔABC

=>\(\hat{ICA}=\frac{180^0-\hat{BCA}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{ACB}\)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ACB}+\hat{ABC}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=180^0-50^0=130^0\)

\(\hat{IAC}+\hat{ICA}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}+90^0-\frac12\cdot\hat{BCA}\)

\(=180^0-\frac12\cdot130^0=180^0-65^0=115^0\)

Xét ΔIAC có \(\hat{IAC}+\hat{ICA}+\hat{AIC}=180^0\)

=>\(\hat{AIC}=180^0-115^0=65^0\)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: Xét tứ giác OAIC có 

\(\widehat{OAI}+\widehat{OCI}=180^0\)

Do đó: OAIC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

IC là tiếp tuyến

IA là tiếp tuyến

Do đó: OI là tia phân giác của góc COA

Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI⊥AC(1)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Suy ra: CA⊥CB(2)

Từ (1) và (2) suy ra CB//OI

Câu b đề thiếu rồi bạn

Câu c đề sai bởi vì ΔACB vuông tại C rồi nên nếu đường cao AH thì H trùng với C rồi bạn