\(p=\frac{a+b+c}{2}\)

Xét (I) có

BP,BM là các tiếp tuyến

Do đó: BP=BM=p-b

Xét (I) có

AP,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AP=AN=p-a

Xét (I) có

CM,CN là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CN=p-c

\(\vec{IM} = \frac{MC \cdot \vec{IB} + BM \cdot \vec{IC}}{BC} = \frac{(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}}{a}\)

\(\Rightarrow a\vec{IM} = (p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC} \quad (1)\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(b\vec{IN} = (p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA} \quad (2)\)

và \(c\vec{IP} = (p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB} \quad (3)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra:

\(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = \left[(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}\right] + \left[(p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA}\right] + \left[(p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB}\right]\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IA}\) là:

\((p - c) + (p - b) = 2p - b - c = (a + b + c) - b - c = a\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IB}\) là:

\((p - c) + (p - a) = 2p - a - c = (a + b + c) - a - c = b\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IC}\) là:

\((p - b) + (p - a) = 2p - a - b = (a + b + c) - a - b = c\)

Do đó: \(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC}\)

\(=\overrightarrow{0}\)

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .

A B C I D F J

Bổ đề: Tam giác ABC cân tại A. Điểm D nằm trên trung trực của BC khi và chỉ khi \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\).

Giải: Vì \(CD=CA\), điểm I nằm trên phân giác \(\widehat{ACD}\) nên \(ID=IA\)

Ta thấy (J) tiếp xúc với CA tại A, suy ra \(\widehat{AFI}=\widehat{IAC}=\widehat{IAF}\) hay \(IA=IF\)

Từ đó \(\Delta DIF\) cân tại I. Chú ý rằng \(\widehat{IBF}=\widehat{IBD}\), suy ra \(BF=BD\) theo bổ đề.

De chung minh M la tam duong tron bang tiep goc C cua tam giac ABC

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MBI}=90^0\) => tu giac MAIN noi tiep

=> \(C'I.C'M=C'B.C'A\left(1\right)\)

Mat khac xet (O)  ta cung co \(C'B.C'A=C'N.C'E\left(2\right)\)

Tu (1) va (2) suy ra \(C'I.C'M=C'E.C'N\)

suy ra tu giac MEIN noi tiep (*)

chung minh tuong tu cung co tu giac EINK noi tiep (**)

tu (*) va(**) ta co dpcm