Xét ΔABC có

AI,BI là các đường phân giác

AI cắt BI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>CI là phân giác của góc ACB

MN//BC

=>\(\hat{MIB}=\hat{IBC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{IBC}=\hat{MBI}\) (BI là phân giác của góc MBC)

nên \(\hat{MIB}=\hat{MBI}\)

=>MI=MB

MN//BC

=>\(\hat{NIC}=\hat{ICB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{ICB}=\hat{NCI}\) (CI là phân giác của góc NCB)

nên \(\hat{NIC}=\hat{NCI}\)

=>NI=NC

MB+NC

=MI+NI

=MN

A B C I N M 1 2 1 2 1 2

Ta có: BI là phân giác \(\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

          CI là phân giác \(\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) 

\(MN//BC\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\),\(\widehat{I_2}=\widehat{C_2}\)

+) Vì \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\);\(\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{I_1}\Rightarrow\Delta MBI\)cân tại M

\(\Rightarrow MB=MI\)

+) Vì \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\);\(\widehat{I_1}=\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{I_2}\Rightarrow\Delta NCI\)Cân tại N

\(\Rightarrow NC=NI\)

Ta có: \(MN=MI+NI\)

mà \(MB=MI\);\(NC=NI\)

\(\Rightarrow MN=MB+NC\left(đpcm\right)\)

Vì OM//BC nên \(\widehat{MOB}=\widehat{MBO}\)

Ví ON//BC nên\(\widehat{ONC}=\widehat{OCN}\)

Xét \(\Delta BOM\)có \(\widehat{MOB}=\widehat{MBO}\)=> \(\Delta BOM\)cân (t/c)=> MB=MO

Xét \(\Delta OCN\)có \(\widehat{ONC}=\widehat{OCN}\)=> \(\Delta OCN\)cân (t/c)=> ON=NC

Ta lại có MO+ON=MN

=> BM+CN=MN (đpcm)

Vì OM // BC nên \(\widehat{MOB}\)= \(\widehat{MBO}\)

Vì ON // BC nên \(\widehat{ONC}\)= \(\widehat{OCN}\)

Xét \(\Delta BOM\)có \(\widehat{MOB}\)= \(\widehat{MBO}\)=> \(\Delta BOM\)cân (t/c) => MB = MO

Xét \(\Delta OCN\)có \(\widehat{ONC}\)= \(\widehat{OCN}\)=> \(\Delta OCN\)cân (t/c) => ON = NC

Ta có MO + ON = MN

=> BM + CN = MN ( đpcm )

Mình nghĩ khó mà có người giải hết chỗ bài tập đấy của bạn, nhiều quá

3/ (Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

Cạnh AC chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(g. c. g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

và AB = DC (hai cạnh tương ứng)

b/ Ta có AD = BC (cm câu a)

và \(AN=\frac{1}{2}AD\)(N là trung điểm AD)

và \(MC=\frac{1}{2}BC\)(M là trung điểm BC)

=> AN = MC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: BM = ND

\(\Delta AMB\)và \(\Delta CND\)có:

BM = ND (cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{NDC}\)(AB // CD; ở vị trí so le trong)

AB = CD (\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta CND\)(c. g. c)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCD}\)(hai góc tương ứng)

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}\)(\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=\widehat{ACN}-\widehat{NCD}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACN}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ANC}\)(2)

và AN = MC (cmt) (3)

=> \(\Delta MAC=\Delta NAC\)(g, c. g)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ \(\Delta AOB\)và \(\Delta COD\)có:

\(\widehat{BAO}=\widehat{OCD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

AB = CD (cm câu a)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ODC}\)(AD // BC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta AOB\)= \(\Delta COD\)(g. c. g)

=> OA = OC (hai cạnh tương ứng)

và OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d/ \(\Delta ONA\)và \(\Delta MOC\)có:

\(\widehat{AON}=\widehat{MOC}\)(đối đỉnh)

OA = OC (O là trung điểm AC)

\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(AM // NC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ONA\)= \(\Delta MOC\)(g. c. g)

=> ON = OM (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm MN

=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)

Sửa đề: Vuông góc với AC,AP tại N,P

a: Xét ΔBPI vuông tại P và ΔBMI vuông tại M có

BI chung

\(\widehat{PBI}=\widehat{MBI}\)

Do đó: ΔBPI=ΔBMI

=>BP=BM

b: Xét ΔIMC vuông tại M và ΔINC vuông tại N có

CI chung

\(\widehat{MCI}=\widehat{NCI}\)

Do đó: ΔIMC=ΔINC

=>IM=IN

c: ΔMCI=ΔNCI

=>MC=CN

BP+CN

=BM+MC

=BC

d: ΔBPI=ΔBMI

=>IP=IM

mà IM=IN

nên IP=IN

Xét ΔAPI vuông tại P và ΔANI vuông tại N có

AI chung

IP=IN

Do đó: ΔAPI=ΔANI

=>\(\widehat{PAI}=\widehat{NAI}\)

=>AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)