a: \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AH\cdot\frac12\cdot20=120\)

=>\(AH\cdot10=120\)

=>\(AH=\frac{120}{10}=12\)

b: Xét ΔAMN và ΔABC có

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\left(=\frac12\right)\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔABC

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AM}{AB}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{AMN}=\frac14\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot120=30\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BMNC}=120-30=90\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

d 180 mét vuông

180

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=BC/2=5(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot48=24\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\frac{AB}{2}\)

NP//AB

=>NP//AM và NP//BM

\(NP=\frac{AB}{2}\)

\(MA=MB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: NP=MA=MB

Xét tứ giác AMPN có

AM//PN

AM=PN

Do đó: AMPN là hình bình hành

Hình bình hành AMPN có \(\hat{MAN}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

c: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=PB=PC=BC/2

Xét tứ giác APCE có

N là trung điểm chung của AC và PE

=>APCE là hình bình hành

Hình bình hành APCE có AP=PC

nên APCE là hình thoi

d: Hình thoi APCE trở thành hình vuông khi AP⊥PC

=>AP⊥BC

Xét ΔABC có

AP là đường cao

AP là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

e: PN=AM

mà PN=1/2PE và AM=1/2AB

nên AB=PE

Xét tứ giác ABPE có

AB//PE

AB=PE

Do đó: ABPE là hình bình hành

=>AP cắt BE tại trung điểm của mỗi đường(1)

AMPN là hình chữ nhật

=>AP cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AP,BE,MN đồng quy

f: Xét tứ giác APBD có

M là trung điểm chung của AB và PD

=>APBD là hình bình hành

=>AD//BP

=>AD//BC

AECP là hình thoi

=>AE//CP

=>AE//CB

mà AD//BC

và AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng