Xét tứ giác AEHD, có:
∠A = ∠E = ∠D = 90°
=> tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

O là giao điểm hai đường chéo hcn AEHD
=> OD = OH (1).

DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ vuông DHB
=> DI = 1/2 BH = IH (2).

Xét Δ IDO và Δ IHO, có:
OD = OH (1).
OI là cạnh chung.
DI = IH (2).
=> Δ IDO = Δ IHO (đpcm).

(bồ xem thử ổn hông nhe).

Bài 1:

a: Xét ΔBAP có D,F lần lượt là trung điểm của BA,BP

=>DF là đường trung bình của ΔBAP

=>DF//AP và \(DF=\frac{AP}{2}\)

ΔAMP vuông tại M

mà ME là đường trung tuyến

nên \(ME=\frac{AP}{2}\)

=>DF=ME

b: Ta có: \(ME=\frac{AP}{2}\)

\(EP=\frac{PA}{2}\)

Do đó: EP=EM

=>ΔEMP cân tại E

=>\(\hat{PEM}=180^0-2\cdot\hat{EPM}=180^0-2\cdot\hat{APM}\) (1)

ΔPLB vuông tại L

mà LF là đường trung tuyến

nên LF=FP

=>ΔFPL cân tại F

=>\(\hat{PFL}=180^0-2\cdot\hat{FPL}=180^0-2\cdot\hat{LPB}\) (2)

Xét ΔPMA vuông tại M và ΔPLB vuông tại L có

\(\hat{PAM}=\hat{PBL}\)

Do đó: ΔPMA~ΔPLB

=>\(\hat{MPA}=\hat{LPB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{PFL}=\hat{PEM}\)

Bài 3: Xét hình thang ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

Xét ΔDAB có M,P lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MP là đường trung bình của ΔDAB

=>MP//AB và \(MP=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có N,Q lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>NQ là đường trung bình của ΔCAB

=>NQ//AB và \(NQ=\frac{AB}{2}\)

Ta có: MP//AB

MN//AB

mà MP,MN có điểm chung là M

nên M,N,P thẳng hàng(1)

Ta có: NQ//AB

NN//AB

mà NQ,MN có điểm chung là N

nên M,N,Q thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,P,Q,N thẳng hàng

Ta có: MP+PQ+QN=MN

=>\(PQ+\frac{AB}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{CD+AB}{2}\)

=>\(PQ=\frac{CD-AB}{2}\)

MP=PQ

=>\(\frac{CD-AB}{2}=\frac{AB}{2}\)

=>CD-AB=AB

=>CD=2AB

Em tham khảo tại link dưới đây nhé:

Câu hỏi của Trần Thị Vân Ngọc - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a) Xét tứ giác DMEA có 3 góc vuông nên DMEA là hình chữ nhật.

Theo tính chất hình chữ nhật thì AM = DE.

b) Do DMEA là hình chữ nhật nên DE giao AM tại trung điểm mỗi đường. Do đó, I cũng là trung điểm AM.

Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Xét tam giác BAM có K, I lần lượt là trung điểm của AB và AM nên KI là đường trung bình.

Vậy IK// BC. Tương tự IH//BC.

Lại có KE//BC nên I thuộc KH.

Do KH cố định nên ta có: Khi M di chuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đoạn KH.

c) Ta đã có DE = AM nên DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM có độ dài ngắn nhất.

Lại có AM là đường xiên nên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng đường cao AH.

Vậy thì AM có độ dài ngắn nhất khi AM trung với AH tức là M trùng H.

=> DE có độ dài ngắn nhất khi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC.