1: MC=2MB

MC+MB=BC

Do đó: BC=2MB+BM=3BM

=>\(BM=\frac13BC\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac13\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac13\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

2: Xét ΔMAC có MD là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MD}=\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AC}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left(-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

3: \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AM}}=\frac14:\frac13=\frac34\)

=>A,E,M thẳng hàng

Câu 1: 

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

Khai thác giả thiết:
+ IA =2IB <=> IA = 2( AB -AI) <=> IA = -2AB <=> AI = 2AB
+ 3JA + 2JC =0 <=> 3JA + 2(JA+ AC) =0 <=> JA = ( -2/5)AC <=> AJ = (2/5) AC
Chỉ ra được vị trí các điểm I, J:
+ I đối xứng với A qua B ( tức B là trung điểm AI)
+ J nằm trên đoạn AC sao cho AJ = 2/5 AC
* Ta có:
+ GI = GA + AI = GA + 2AB
+ GJ = GA + AJ = GA + (2/5) AC
Suy ra:
GI - 5 GJ = -4 GA + 2(AB - AC) = -4GA + 2CB = -4GA + 2(GB -GC)
= -2GA +4GB ( chỗ này có áp dụng tính chất trọng tâm: GA +GB + GC =0)
Do B là trung điểm của AI => 2GB = GA +GI
Suy ra:
GI - 5 GJ = -2GA + 2GA + 2 GI
=> GI = - 5 GJ
Đẳng thức này suy ra I, J, G thẳng hàng => IJ đi qua G (đpcm)
 I, J, G thẳng hàng

Do I đối xứng A qua B \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\)

Do G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a.

\(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

b.

\(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GJ}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{15}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{GI}\)

\(\Rightarrow\) G,I,J thẳng hàng

các bn vẽ hình hộ t nha

Bài 2:

vecto AM=vecto AB+vecto BM

=vecto AB+2/3vecto BC

=vecto AB+2/3*(vecto BA+vecto AC)

=1/3*vecto AB+2/3*vecto AC