a)
Qua phép đối xứng trục Oy điểm \(M\left(1;1\right)\) biến thành điểm \(M'\left(x;y\right)\) có tọa độ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=-x=-1\\y'=y=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(M'\left(-1;1\right)\).
Qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(2;0\right)\) điểm M' biến thành điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) là:\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1+2=1\\y_A=0+1=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(A\left(1;1\right)\equiv M\) là điểm cần tìm.
b) Gọi C là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\)
là: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2+1=3\\y_C=0+1=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(C\left(3;1\right)\)
\(M''=Đ_{Oy}\left(C\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_{M''}=-x_C=-3\\y_{M''}=y_C=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(M''\left(-3;1\right)\).

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có: \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}\)

. Suy ra \(^T\overrightarrow{AG}\left(A\right)=G,^T\overrightarrow{AG}\left(B\right)=B',^T\overrightarrow{AG}\left(C\right)=C'\)

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\). Do đó, \(^T\overrightarrow{AG}\left(D\right)=A\).

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có:

. Suy ra

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có . Do đó, .

Gọi (d): ax+by+c=0 là ảnh của Δ qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(3;1\right)\)

=>(d)//Δ

=>(d): x+2y+c=0

Lấy A(1;1) thuộc (Δ)

Lấy A'(x;y) là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(3;1\right)\)

Tọa độ A' là:

\(\begin{cases}x=1+3=4\\ y=1+1=2\end{cases}\)

Thay x=4 và y=2 vào (d), ta được:

\(4+2\cdot2+c=0\)

=>c+8=0

=>c=-8

=>(d): x+2y-8=0

Δ' là ảnh (d) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>Δ'⊥(d)

=>Δ': 2x-y+c=0

Lấy B(4;2) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=-y_{B}=-2\\ y_{B^{\prime}}=x_{B}=4\end{cases}\)

Thay x=-2 và y=4 vào 2x-y+c=0, ta được:

2*(-2)-4+c=0

=>c-8=0

=>c=8

=>Δ': 2x-y+8=0

Lấy M tùy ý. Gọi (M) = M', (M') = M''. Ta có
\(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M''}=2\overrightarrow{M_oM'}+2\overrightarrow{M'M_1}=2\overrightarrow{M_oM_1}\)\(=2\dfrac{\overrightarrow{v}}{2}=\overrightarrow{v}\).

Vậy M'' = (M) = ((M)), với mọi M

Do đó phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d'.

M-> M' => VÊCTỚ MM'= VT u 
Tv: M' -> M'' => vt M'M'' = v 
áp dụng quy tắc 3 diểm => vt MM' +M'M'' = u+v =w 
=> với mỗi điểm M qua phép tt theo vecto w se biến M -> M'' => ĐÓ LÀ PHÉP TT